Основные понятия и аксиомы статики
Техническая механика — комплексная дисциплина. Она включает три раздела: «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Детали машин». «Теоретическая механика» — раздел, в котором излагаются основные законы движения твердых тел и их взаимодействия. В разделе «Сопротивление материалов» изучаются основы прочности материалов и методы расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость под действием внешних сил. В заключительном разделе «Технической механики» «Детали машин» рассматриваются основы конструирования и расчета деталей и сборочных единиц общего назначения.
Дисциплина «Техническая механика» является обще профессиональной, обеспечивающей базовые знания при усвоении специальных дисциплин, изучаемых в дальнейшем.
Задачи теоретической механики
Аксиомы статики
В результате обобщения человеческого опыта были установлены общие закономерности механического движения, выраженные в виде законов и теорем. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений. Эти положения называют аксиомами статики. До сих пор не нашли проект коттеджа? Продажа проектов коттеджей.
Первая аксиома
Под действием уравновешенной системы сил абсолютно твердое тело или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно (закон инерции).
Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).
Сила F приложена в точке А. Требуется перенести ее в точку В. Используя третью аксиому, добавим в точке (F’; F”). Образуется уравновешенная по второй аксиоме система сил (F; F”). Убираем ее и получим в точке В силу F", равную заданной F.
Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 1.9).
Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.
Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка Л опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.
2. Какие силы системы (рис. 1.14) можно убрать, не нарушая механического состояния тела?
Рис.1.14
3. Тела 1 и 2 (рис. 1.15) находятся в равновесии. Можно ли убрать действующие системы сил, если тела абсолютно твердые? Что изменится, если тела реальные, деформируемые?
Плоская система сходящихся сил. руководство по ремонту ховер
Определение равнодействующей
геометрическим способом
Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.
Уметь определять равнодействующую, решать задачи на равновесие в геометрической форме.
Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся (рис. 2.1).
Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F1; F2; F3; …; Fn), n — число сил, входящих в систему.
По следствию из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными в одной точке
Порядок построения многоугольника сил
Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора со впадал с началом последующего.
Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Если в системе три силы, образуется треугольник сил.
Рис. 2.7
2. Из представленных силовых треугольников выберете треугольник, построенный для точки А (рис. 2.8, 2.9).
Рис. 2.8
Шар подвешен на нити и находится в равновесии. Обратить внимание на направление реакции от гладкой опоры и условие равновесия шара (рис. 2.8
Плоская система сходящихся сил.
Определение равнодействующей аналитическим способом
Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящейся системы сил в аналитической форме.
Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси, решать задачи на равновесие в аналитической форме.
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).
Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси (рис. 3.4а). Складываем проекции всех векторов на оси х и у (рис. 3.46).
Пара сил и момент силы относительно точки
Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил.
Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.
Пара сил, момент пары сил
Рис. 4.1
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Рассмотрим систему сил (F;F'), образующих пару.
Пара сил вызывает вращение тела и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т.к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействующей).
Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
Момент считают положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.16): M(F;F') = Fa; M > 0.
Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.
Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему (рис. 4.3):
Рис.4.2
Рис. 4.3
MΣ = F1 α1 + F2 α2 + F3 α3 + … + Fn αn;
4. Равновесие пар.
Какие из изображенных пар (рис. 4.10) эквивалентны, если
F1 = F2 = 8 кН; F3 = 6,4 кН; α1 = 2 м; а2 = 2,5 м?
Рис.4.10
4. Какую силу необходимо приложить в точке С (рис. 4.11), чтобы алгебраическая сумма моментов относительно точки О была равна нулю?
О А = АВ = ВС = 5 м; F1 = 7,8 кН; F2 = 3 кН.
Рис. 4.11
Плоская система произвольно расположенных сил
Иметь представление о главном векторе, главном моменте, равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил.
Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке, приведение произвольной плоской системы сил к точке, три формы уравнений равновесия.
Уметь заменять произвольную плоскую систему сил одной силой и одной парой.
Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.
Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку — точку приведения. Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.
Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.
Дана плоская система произвольно расположенных сил (рис. 5.2).
Частные случаи приведения системы сил к точке
При приведении системы сил к точке возможны следующие варианты:
1. Fгл = 0
МглО ≠ 0
тело вращается вокруг неподвижной оси.
2. МглО = 0
Fгл ≠ 0; Fгл = FΣ
3. МглО = 0
Fгл = 0
Условие равновесия произвольной плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю (Fгл = 0).
Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:
Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:
Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.
Получим основную форму уравнения равновесия:
{
}
уравнения моментов.
Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически доказано, что на плоскости можно составить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии.
Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.
Балочные системы.
Определение реакций опор и моментов защемления
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.
Уметь выполнять проверку правильности решения.
Виды нагрузок и разновидности опор
Виды нагрузок
Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.3)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.
Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.
Из уравнения
определяется реакция RBx.
Из уравнения
определяется реакция RBy.
Из уравнения
определяется реакция RAy.
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение
Контрольные вопросы и задания
1. Рассчитайте величину суммарного момента сил системы относительно точки А (рис. 6.10).
Рис. 6.10
2. Какую из форм уравнений равновесия целесообразно использовать при определение реакций в заделке?
3. Какую форму системы уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?
4. Определить реактивный момент в заделке одноопорной балки, изображенной на схеме (рис. 6.11).
Пространственная система сил
Знать момент силы относительно оси, свойства момента, аналитический способ определения равнодействующей, условия равновесия пространственной системы сил.
Уметь выполнять разложение силы на три взаимно перпендикулярные оси, определять момент силы относительно оси.
Пространственная система сил — система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
Момент силы относительно оси
Пространственная сходящаяся система сил
Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2).
Модуль вектора может быть получен из зависимости
Модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил можно определить аналитически, использовав метод проекций.
Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:
Произвольная пространственная система сил
Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.
Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.
В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) Fгл (рис. 7.56).
Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы Мгл (главный момент).
Тема 1.6. Центр тяжести
Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.
Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.
Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.
Сила тяжести
Рис. 8.1
Сила тяоюести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.
Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур)
Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А — площадь фигуры, h — ее высота.
Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:
;
;
,
где Ак — площадь части сечения; хк, ук — координаты ЦТ частей сечения.
Выражение
называют статическим моментом площади (Sy.).
Основные кинематические параметры
Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией.
Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией.
Уравнение траектории при плоском движении: у = f(x).
Пройденный путь
Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.
Скорость точки при перемещении из точки М1 в точку М2 меняется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени
(рис 9.4).
Рис. 9.4
При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный момент:
.
Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярно составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 9.5).
Тема 1.8. Кинематика точки
Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различных видах движения точки.
Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равнопеременного движений точки.
Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.
Анализ видов и
кинетических параметров движений
Равнопеременное движение
Равнопеременное движение — это движение с постоянным касательным ускорением:
at — const.
Для прямолинейного равнопеременного движения
a = at = const.
Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 10.2):
an ≠ 0; at = const ≠ 0.
Простейшие движения твердого тела
Иметь представление о поступательном движении, его особенностях и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах.
Знать формулы для определения параметров поступательного ш вращательного движений тела.
Уметь определять кинематические параметры тела при поступательном и вращательном движениях, определять параметры любой точки тела.
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2).
Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):
ω = const.
Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет вид:
φ = φ0 + φt,
где φ0 — угол поворота до начала отсчета.
Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 11.4.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры движения точки Л, расположенной на расстоянии г а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).
Рис. 11.6
Рис. 11.7
Путь точки А: SA = φrA.
Линейная скорость точки А: vA = ωrA.
Ускорение точки А: atA = εrA – касательное; : atA = εrA
Основные понятия и аксиомы динамики.
Иметь представление о массе тела и ускорении свободного падения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.
Знать аксиомы динамики и математическое выражение основного закона динамики.
Знать зависимости для определения силы трения.
Содержание и задачи динамики
Первая аксиома (принцип инерции)
Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.
Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.
Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.
Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы — килограмм (кг).
Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики).
Четвертая аксиома (закон независимости действия сил)
Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.
Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности (рис. 13.2):
Рис. 13.2
Коэффициент трения скольжения зависит от следующих факторов:
— от материала: материалы делятся на фрикционные (с большим коэффициентом трения) и антифрикционные (с малым коэффициентом трения), например f = 0,l ÷ 0,15 (при скольжении стали по стали всухую), f = 0,2 ÷ 0,3 (при скольжении стали по текстолиту);
от наличия смазки, например f = 0,04 ÷ 0,05 (при скольжении стали по стали со смазкой);
от скорости взаимного перемещения.
Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.
Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном деформируется грунт, и в каждый момент колесо должно перекатываться через выступ грунта. Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу FnB (рис. 13.4).
Движение материальной точки.
Иметь представление о свободных и несвободных материальных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач.
Знать формулы для расчета силы инерции при поступательном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.
Свободная и несвободная точки
Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.
Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).
Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.
Принцип Даламбера:
Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:
Работа и мощность
Иметь представление о работе силы при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.
Знать зависимости для определения силы трения, формулы для расчета работы и moi юности при поступательном и вращательном движениях.
Уметь рассчитывать работу и мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.
Работа
Для характеристики действия силы на некотором перемещении точки ее приложения вводят понятие «работа силы».
Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная величина.
Рассмотрим частные случаи.
1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, называются движущими силами. Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения (рис. 15.2).
В этом случае α = 0° (cos α = 1). Тогда W = FS > 0.
2. Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят (рис. 15.3).
Рис. 15.2
Рис. 15.3
Сила F перпендикулярна направлению перемещения, а = 90° (cos α = 0);
Работа и мощность.
Коэффициент полезного действия
Иметь представление о мощности при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, коэффициенте полезного действия.
Знать зависимости для определения мощности при поступательном и вращательном движениях, КПД.
Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.
Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.
Мощность — работа, выполненная в единицу времени:
Мощность при вращении (рис. 16.2)
Рис. 16.2
Тело движется по дуге радиус г из точки М1 в точку М2.
M1 ˘ M2 = φ r
Работа силы: W = Мвр.
W = Mвр φ
где Мвр — вращающий момент.
Учитывая, что
, получим
P = Mвр ωср ,
где ωср – средняя угловая скорость.
Мощность силы при вращении равна произведению вращающего момента на среднюю угловую скорость.
Если при выполнении работы усилие машины и скорость движения меняются, можно определить мощность в любой момент времени, зная значения усилия и скорости в данный момент.
Сопротивление материалов
Тема 2.1. Основные положения.
Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях.
Знать основные понятия, гипотезы и допущения в сопротивлении материало
Основные требования к деталям и конструкциям и виды расчетов в сопротивлении материалов
Механические свойства материалов
Прочность — способность не разрушаться под нагрузкой. Жесткость — способность незначительно деформироваться под нагрузкой.
Выносливость — способность длительное время выдерживать временные нагрузки.
Устойчивость — способность сохранять первоначальную форму упругого равновесия.
Вязкость — способность воспринимать ударные нагрузки.
Виды расчетов
Допущения о характере деформации
Все материалы под нагрузкой деформируются, т. е. меняют форму и размеры.
Характер деформации легко проследить при испытании материалов на растяжение.
Перед испытаниями цилиндрический образец закрепляется в захватах разрывной машины, растягивается и доводится до разрушения. При этом записывается зависимость между приложенным усилием и деформацией. Получают график, называемый диаграмме! растяжения. Для примера на рис. 18.1 представлена диаграмма \ стяжения малоуглеродистой стали.
Классификация нагрузок и элементов конструкции
Классификация нагрузок
Рис. 18.2
Статистические нагрузки (рис. 18.2а) не меняются со временем или меняются очень медленно. При действии статистических нагрузок проводится расчет на прочность.
Повторно-переменные нагрузки (рис. 18.26) многократно меняют значение или значение и знак. Действие таких нагрузок вызывает усталость металла.
Формы элементов конструкции
Все многообразие форм сводится к трем видам по одному признаку.
1. Брус — любое тело, у которого длина значительно больше других размеров.
В зависимости от форм продольной оси и поперечных сечений различают несколько видов брусьев:
Рис. 18.3
прямой брус постоянного поперечного сечения (рис. 18.3а);
прямой ступенчатый брус (рис. 18.36);
криволинейный брус (рис. 18.3в).
Тема 2.1. Основные положения.
Нагрузки внешние и внутренние, метод сечений
Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений.
Уметь определять виды нагружений и внутренние силовыми факторы в поперечных сечениях.
Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.
Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.
Внешние силы должны быть определены методами теоретической механики, а внутренние определяются основным методом сопротивления материалов - методом сечений.
Полученные составляющие сил упругости носят название внутренних силовых факторов. Каждый из внутренних силовых факторов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние силовые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу детали внешние силы. Используя шесть уравнений равновесия, можно получить величину внутренних силовых факторов:
;
;
;
;
;
.
Из приведенных уравнений следует, что:
Nz — продольная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Oz внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса: вызывает растяжение или сжатие;
Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочности необходимо определить величину силы, приходящуюся на любую точку поперечного сечения.
Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют механическим напряжением. Напряжение характеризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу площади поперечного сечения.
Рассмотрим брус, к которому приложена внешняя нагрузка (рис. 19.2). С помощью метода сечений рассечем брус поперечной плоскостью, отбросим левую часть и рассмотрим равновесие оставшейся правой части. Выделим на секущей плоскости малую площадку ΔА. На этой площадке действует равнодействующая внутренних сил упругости.
Контрольные вопросы и задания
Какие силы в сопротивлении материалов считают внешними? Какие силы являются внутренними?
Какими методами определяют внешние силы? Как называют метод для определения внутренних сил?
Сформулируйте метод сечений.
Что в сопротивлении материалов называют внутренними силовыми факторами? Сколько в общем случае может возникнуть внутренних силовых факторов?
Как по отношению к площадке направлены нормальное и касательное напряжения? Как они обозначаются?
Какие напряжения возникают в поперечном сечении при действии продольных сил?
Какие напряжения возникают при действии поперечных сил?
С помощью метода сечений определите величину внутреннего силового фактора в сечении 1-1 и вид нагружения (рис. 19.6).
Растяжение и сжатие.
Внутренние силовые факторы, напряжения.
Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в поперечных сечениях.
Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса.
Уметь строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила.
Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис. 20.26).
Рис. 20.2б
Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.
Ось эпюры параллельна продольной оси.
Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные - вверх, отрицательные - вниз.
В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому
эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.
Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение.
Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.
Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении (рис. 20.3).
Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по формуле
В обоих сечениях продольные силы положительны.
2. Определяем нормальные напряжения
.
Сопоставляя участки нагружения с границами изменения площади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях по участкам:
;
;
;
.
Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения иx положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.
Тема 2.2. Растяжение и сжатие.
Продольные и поперечные деформации.
Иметь представление о продольных и поперечных деформация! и их связи.
Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напряжений и перемещений.
Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.
Деформации при растяжении и сжатии
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).
Закон Гука
В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорциональны нагрузке:
F = kΔl,
где F — действующая нагрузка; k — коэффициент.
В современной форме:
;
.
Получим зависимость σ=Eε, где Е — модуль упругости, характеризует жесткость материала.
В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению.
Значение Е для сталей в пределах (2÷2,l) • 105 МПа.
Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели
чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.Связь между продольной и поперечной деформациями зависит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.
Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0: у резины μ = 0,5.
3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют
на работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается через продольную.Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа).
1. Два участка нагружения:
участок 1: N1 = + 25 кН; растянут;
участок 2: 25 – 60 + N2 = 0; N2 = - 35 кН; сжат.
2. Три участка по напряжениям:
;
;
Механические испытания, механические характеристики.
Предельные и допускаемые напряжения
Иметь представление о предельных и допускаемых напряжениях и коэффициенте запаса прочности.
Знать диаграммы растяжения и сжатия пластичных и хрупких материалов, порядок расчетов на прочность.
При выборе материалов для элементов конструкции и расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики. Необходимые сведения получают экспериментально при испытаниях на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб.
Механические испытания.
Статические испытания на растяжение и сжатие
Характеристики пластичности материала
δ - максимальное удлинение в момент разрыва
%,
где Δlmax – максимальное остаточное удлинение (рис. 22.3);
ψ – максимальное сужение при разрыве
%,
где Аш – площадь образца в месте разрыва.
Характеристики пластичности определяют способность матер ала к деформированию, чем выше значения δ и ψ, тем матери пластичнее.
Предельные и допустимые напряжения
Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная деформация).
Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести, т. к. возникающие пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки:
.
Для хрупких материалов, где пластические деформации отсутствуют, а разрушение возникает по хрупкому типу (шейки не образуется), за предельное напряжение принимают предел прочности:
.
Для пластично-хрупких материалов предельным напряжением считают напряжение, соответствующее максимальной деформации 0,2% (σо,2):
.
Допускаемое напряжение — максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать.
Допускаемые напряжения получают по предельным с учетом запаса прочности:
Особенности поведения материалов при испытания: на сжатие
1. Пластичные материалы практически одинаково работают при растяжении и сжатии. Механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковы.
2. Хрупкие материалы обычно обладают большей прочностью при сжатии, чем при растяжении: σвр < σвс.
Если допускаемое напряжение при растяжении и сжатии различно, их обозначают [σр] (растяжение), [σс] (сжатие).
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
Расчеты на прочность ведутся по условиям прочности - неравенствам, выполнение которых гарантирует прочность детали при 1ных условиях.
Для обеспечения прочности расчетное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения:
Полученную величину округляем в большую сторону d = 25мм, А = 4,91 см2.
Сечение — равнополочный уголок № 5 по ГОСТ 8509-86.
Ближайшая площадь поперечного сечения уголка - А = 4,29 см2 (d = 5мм). 4,91 > 4,29 (Приложение 1).
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите условие прочности при растяжении и сжатии. Отличаются ли условия прочности при расчете на растяжение и расчете на сжатие.
Практические расчеты на срез и смятие.
Основные предпосылки расчетов и расчетные формулы
Иметь представление об основных предпосылках и условностях расчетов о деталях, работающих на срез и смятие.
Знать внутренние силовые факторы, напряжения и деформации при сдвиге и смятии, условия прочности.
Уметь определять площади среза и смятия.
Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) работают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор — поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.
Смятие
Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, σсм.
Расчет также носит условный характер. Допущения подобны принятым при расчете на сдвиг (см. выше), однако при расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки (на рис. 23.46). Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр. На рис. 23.4 показана примерная схема передачи давления на стержень заклепки.
Таким образом, условие прочности при смятии можно выразить соотношением
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.
При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивляется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь.
При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сечения деформированию.
Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).
Рис. 25.1
Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выражение, получим статический момент площади сечения:
1) относительно оси Ox
;
2) относительно оси Oy
.
Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по величине и имеют разный знак. Следовательно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.
Статический момент используется при определении положения центра тяжести сечения:
Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:
1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох
;
2) осевой момент инерции сечения относительно оси Оу
.
Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:
Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)
Представим прямоугольник высотой h и шириной b в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy=dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох:
Рис. 25.2
;
; получим:
.
По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:
.
Очевидно, что при h > b сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.
Для квадрата: h = b;
.
Осевые моменты инерции круга и кольца
Используя известную связь между осевыми и полярным моментами инерции, получим:
;
;
(круг);
(кольцо).
Моменты инерции относительно параллельных осей
Оси Охо и Ох параллельны (рис. 25.4).
Рис. 25.4
При параллельном переносе прямоугольной системы осей уоОхо в новое положение уоОх значения моментов инерции JX, Jy, Jxy заданного сечения меняются. Задается формула переход без вывода.
Jx = Jxo + Aa2,
Здесь Jx – момент инерции относительно оси Ох;
Jxo – момент инерции относительно оси Охо;
6. момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси Jxо = 174 см4; площадь поперечного сечения 10,9 см2.
Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).
7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).
8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).
Рис. 25.9
Рис. 25.10
Рис. 25.11
Кручение.
Внутренние силовые факторы при кручении.
Построение эпюр крутящих моментов
Иметь представление о деформациях при кручении, о внутренних силовых факторах при кручении.
Уметь строить эпюры крутящих моментов.
Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей Поперечные сечения разворачиваются на угол ip, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1).
Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформациии остается плоским и перпендикулярным продольной оси.
2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).
3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.
Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент.
Внешними нагрузками также являются две противоположно натравленные пары сил.
Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1).
Примеры решения задач
Пример 1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распределяются следующим образом: Р2 = 8 кВт, Рз = 3 кВт, Р4 = 1кВ.
зал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.
Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.
Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих моментов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.
Кручение.
Напряжения и деформации при кручении
Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.
Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.
Напряжения при кручении
Напряжение в любой точке поперечного сечения
Рис. 27.2
Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).
dQ = τdA,
где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.
В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары.
Элементарный момент силы dQ относительно центра круга
dm = pdQ,
где р — расстояние от точки до центра круга.
Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:
Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряжение, учитывая, что
, где d — диаметр бруса круглого сечения.
Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле.
.
Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем
Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность
1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
.
Откуда
.
2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
Примеры решения задач
Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивали; [φо] = 0,02 рад/м; модуль упругости при сдвиге G= 0,8 • 105 МПа.
Решение
1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.
Условие прочности при кручении:
.
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
;
;
.
Из условия прочности определяем момент сопротивления вага при кручении
Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение гак, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 ММ.
Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.
Тема 2.6. Изгиб.
Классификация видов изгиба.
Внутренние силовые факторы при изгибе
Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1. Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом сечений.
Рассмотрим равновесие участка 1 (рис. 29.36).
Под действием внешней пары сил участок стремится развернуться по часовой стрелке. Силы упругости, возникающие в сечении 1, удерживают участок в равновесии.
Продольные силы упругости выше оси бруса направлены направо, а силы ниже оси направлены налево. -
Таким образом, при равновесии участка 1 получим: ΣFz = 0. Продольная сила N в сечении равна нулю. Момент сил упругости относительно оси Ох может быть получен, если суммировать элементарные моменты сил упругости в сечении 1-1 относительно оси Ох:
Принятые в машиностроении знаки поперечных сил и изгибающих моментов
Рис. 29.4
Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке (рис. 29.4а), если против, - отрицательной (рис. 29.46).
Знаки изгибающих моментов
Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным (рис. 29.5а), если наоборот - отрицательным (рис. 29.56).
Рис. 29.5
Изгиб.
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Основные правила построения эпюр
Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и Мх по участкам.
Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.
Используем известные правила:
- поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Оу;
- изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох;
- принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 30.2):
Рис. 30.2
Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внешний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется.
В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов появится скачок, равный величине приложенного момента.
Поперечная сила в точке В для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не отражается на эпюре поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.
График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.
4. Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается прежним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений максимальных сил и моментов.
Графики обводятся толстой основной линией и заштриховываются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.
Правила построения эпюр (рис. 30.1 и 30.4):
Пример 2. На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению
.
Решение
1. Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:
;
;
- 35 ·6 + 80 – RB · 10 + 70 · 12 = 0;
RB · 10 = - 210 + 80 + 840;
RB = 71 кН.
2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений.
Для этого используют известные связи между поперечной силок и изгибающим моментом и правила построения эпюр.
Участок 1 (от точки А до точки С).
В точке А приложена реакция Ra, направленная вниз. Поперечная сила на участке постоянна: Q1 = Ra = - З6 кН.
Момент в точке А равен нулю.
Точка С (слева). Приложена внешняя сила F1 = 35кН, направленная вверх, - здесь возникнет скачок вверх на величину 35 кН. Момент в точке С (слева) может быть рассчитан по известной зависимости
;
.
Участок 2 (от точки С справа до точки В).
Изгиб.
Нормальные напряжения при изгибе.
Расчеты на прочность
Знать распределение нормальных напряжений по сечению балки при чистом изгибе, расчетные формулы и условия прочности.
Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.
При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.
Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а).
Формула для расчета нормальных напряжений при изгибе
Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).
dN — элементарная продольная сила в точке сечения;
dA — площадь элементарной площадки;
dm — элементарный момент, образованный силой относительно нейтрального слоя.
dN = σи dA; dm = σи ydA.
Рис. 32.2
Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении
Рациональные сечения при изгибе
Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним моменты сопротивления простейших сечений.
Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4) равен
Осевой момент сопротивления прямоугольника
.
Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).
Рис. 32.4
Расчет на прочность при изгибе
Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.
Условие прочности при изгибе:
,
где [σи] — допускаемое напряжение.
По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.
Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).
Рис. 32.8
При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.
Схема нагружения и действующие нагрузки известны.
По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки [Ми] = Wp[σ].
Сочетание основных деформаций.
Иметь представление о напряженном состоянии в точке упругого тела, о теории предельных напряженных состояний, об эквивалентном напряженном состоянии, о гипотезах прочности.
Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.
Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Точку принято изображать в виде маленького элемента в форме параллелепипеда (рис. 34.1).
Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.
Такие состояния возникают в заклепочных соединениях (срез и смятие), в болтовых соединениях (растяжение и скручивание), при поперечном изгибе бруса (изгиб и сдвиг).
Часто одним из нагружений (незначительным) пренебрегают.
Например, длинные балки рассчитывают только на изгиб.
Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кручения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возникают на поверхности. Расчет следует вести по теории прочности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным простым.
Рис.
Максимальное напряжение кручения в сечении
.
Максимальное напряжение изгиба в сечении
.
Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций
Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.
Уметь рассчитывать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций.
Формулы для расчета эквивалентных напряжений
Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений
.
Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения
Особенность расчета валов
Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.
Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:
;
;
,
где F — действующая сжимающая сила;
[F] — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;
Fкр — критическая сила;
[sy] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.
Обычно для сталей [sy] = l,8 ÷ 3; для чугуна [sy] = 5; для дерева [Sy] ≈ 2,8.
Способы определения критической силы
Критические напряжения.
Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответствующее критической силе.
Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле
,
где σкр — напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть минимальным радиусом инерции imin:
;
.
Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде
Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского для стальных стержней
Таблица 36.1
Материал
σ, МПа
b, МПа
λ0
λпред
Сталь Ст2
Сталь Ст3
Сталь 20, Ст4
Сталь 45
Дюралюмин Д16Т
Сосна, ель
264
310
328
449
406
29,3
0,70
1,14
1,15
1,67
1,83
0,194
60
60
60
52
30
-
105
100
96
85
53
70
Критическое напряжение определяется по формуле σкр = а — bλ. где а и b — коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.
На рис. 36.4 представлена зависимость критического напряжения от гибкости стержня.
Сопротивление усталости
Иметь представление об усталости материалов, о кривой усталости и пределе выносливости.
Знать характер усталостных разрушений, факторы, влияющие на сопротивление усталости, основы расчета на прочность при переменном напряжение.
Основные понятия
Многие детали машин работают в условиях переменных во времени напряжений. Так, вращающиеся валы и оси, нагруженные постоянными изгибающими силами, работают при переменных нормальных напряжениях изгиба.
Появление трещин под действием переменных напряжений называют усталостным разрушением.
Усталостью называют процесс накопления повреждений в материале под действием повторно-переменных напряжений.
Характерный вид усталостных разрушений — трещины и часть поверхности блестящая в изломе. Такой характер излома вызван многократным нажатием, зашлифованностью частей детали.
Опыт показывает, что усталостное разрушение происходит при напряжениях ниже предела прочности, а часто и ниже предела текучести.
Способность материала противостоять усталостным разрушениям зависит от времени действия нагрузки и от цикла напряжений. При любой деформации нагружение с симметричным циклом наиболее опасно.
Опытным путем установлено, что существует максимальное напряжение, при котором материал выдерживает, не разрушаясь значительное число циклов.
Наибольшее (максимальное) напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца из данного материала после любого большого числа циклов, называют пределом выносливости.
Факторы, влияющие на сопротивление усталости
1. Концентрация напряжений. В местах, где имеются резкие изменения размеров, отверстия, резьба, острые углы, возникают большие местные напряжения (концентрация напряжений). В этих местах возникают усталостные трещины, трещины разрастаются, и эо приводит к разрушению детали.
Местные напряжения значительно выше номинальных напряжений, возникающих в гладких деталях.
Влияние концентрации напряжений учитывается коэффициентом Ка.
Ка — эффективный коэффициент концентрации напряжений, зависит от формы поверхности.
2. Размеры детали. В деталях больших размеров возможны внутренняя неоднородность, инородные включения, незаметные микротрещины. Влияние размеров учитывается масштабным фактором Kd.
Kd — масштабный коэффициент, коэффициент влияния абсолютных размеров.
