http://siclas.ru/
Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть на плоскости хОу расположена кривая MN, гладкая (касательная к кривой непрерывно изменяется  вдоль кривой) или кусочно-гладкая (составленная из гладких участков). Функция z =f(х,y) определена и ограничена на кривой MN. Составляется интегральная сумма:

где n - число частичных кривых, на которые разделена кривая MN; (хi;yi) - некоторая точка, взятая на i -ой частичной кривой; Δli- длина i-ой частичной кривой, i=1,2,…n. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Предел интегральной суммы (22) при условии, что все длины Δli →0 (n→∞) называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по кривой MN и обозначается как

где MN - линия интегрирования; dl - дифференциал длины дуги.

Другое название интеграла (23) - криволинейный интеграл от функции f (х, у) по длине дуги MN.

Кривая MN может быть замкнутой линией L. Для обозначения криволинейного интеграла в этом случае используют символ 

8. Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Линейные свойства:

2.Если линия L состоит из частей L1 и L2, то

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл не изменяет своего значения, т.е. если под MN и NM понимать разнонаправленные линии, то

4. Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN.

С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:

1)  длина кривой MN

2) Если кривая MN - материальная с распределённой плотностью , то

а) масса кривой

б) координаты центра тяжести

в)  моменты инерции кривой относительно осей координат и начала координат

ТЕОРЕМА (о существовании всех частных производных ФНП)

Если   – дифференцируемая в точке  ФНП, то в этой точке существует частная производная функции по каждой координате, т.е.

.

Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где , .

Пусть , т.е. изменяется только одна
координата, например , а все другие координаты не
изменяются. Тогда приращение вектора – аргумента становится
"частным" приращением и, соответственно, полное приращение функции  превращается в частное приращение функции в точке , вызванное "частным" приращением вектора – аргумента, 
и обозначается через

.

Используя представление для , получим  или . Поскольку пределы слагаемых в правой части равенства существуют, то
существует   .

Обратное утверждение неверно, т.е. существование частных производных ФНП в точке не гарантирует дифференцируемость ФНП в этой точке.

Контрпример. Пусть  Тогда в точке   не является непрерывной, а значит, и не является дифференцируемой.

Хотя при  , т.е.  – существует; аналогично существует .


Вычислить криволинейный интеграл Вычислим объем шара