Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Криволинейный интеграл первого рода
Пусть на плоскости хОу расположена кривая MN, гладкая (касательная к кривой непрерывно изменяется вдоль кривой) или кусочно-гладкая (составленная из гладких участков). Функция z =f(х,y) определена и ограничена на кривой MN. Составляется интегральная сумма:
где n - число частичных кривых, на которые разделена кривая MN; (хi;yi) - некоторая точка, взятая на i -ой частичной кривой; Δli- длина i-ой частичной кривой, i=1,2,…n. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Предел интегральной суммы (22) при условии, что все длины Δli →0 (n→∞) называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по кривой MN и обозначается как
где MN - линия интегрирования; dl - дифференциал длины дуги.
Другое название интеграла (23) - криволинейный интеграл от функции f (х, у) по длине дуги MN.
Кривая MN может быть замкнутой линией L. Для обозначения криволинейного интеграла в этом случае используют символ
8. Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода
1. Линейные свойства:
2.Если линия L состоит из частей L1 и L2, то
3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл не изменяет своего значения, т.е. если под MN и NM понимать разнонаправленные линии, то
4. Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN.
С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:
1) длина кривой MN
2) Если кривая MN - материальная с распределённой плотностью , то
а) масса кривой
б) координаты центра тяжести
в) моменты инерции кривой относительно осей координат и начала координат
ТЕОРЕМА (о существовании всех частных производных ФНП)
Если – дифференцируемая в точке ФНП, то в этой точке существует частная производная функции по каждой координате, т.е.
.
Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где , .
Пусть , т.е. изменяется только одна
координата, например , а все другие координаты не
изменяются. Тогда приращение вектора – аргумента становится
"частным" приращением и, соответственно, полное приращение функции превращается в частное приращение функции в точке , вызванное "частным" приращением вектора – аргумента,
и обозначается через
.
Используя представление для , получим или . Поскольку пределы слагаемых в правой части равенства существуют, то
существует .
Обратное утверждение неверно, т.е. существование частных производных ФНП в точке не гарантирует дифференцируемость ФНП в этой точке.
Контрпример. Пусть Тогда в точке не является непрерывной, а значит, и не является дифференцируемой.
Хотя при , т.е. – существует; аналогично существует .