Космические ядерные двигатели http://wine-gastronomy.ru/
Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Применение тройных интегралов.

Цилиндрические координаты.

Отнесём область  к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами  ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, как указано на рис. 5, уста­новим связь, между декарто­выми и цилиндрическими координатами точки М, именно:

             (*)

                      Рис.5 Математика лекции и задачи Вычисление обратной матрицы методом Гаусса: к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

Разобьем область  на частичные области  тремя системами координатных поверхностей:  которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями  служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла   к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в вы­ражении подынтегральной функции  переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности,  то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по  и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В част­ности, если областью интегрирования служит внутренность ци­линдра  то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

3. Сферические координаты.

Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом  между  проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом  может изменятся то 0 до а   - от 0  до .

                                    Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем

Отсюда

           (**)

Разобьем область  на частичные области , тремя системами координатных   поверхностей:            которыми будут

                                         

 соответственно сферы с центром в на­чале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпада­ющими с одной из полуосей Оz. Частичными областями  служат «шестигранники» (рис. 7). От­бросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоу­гольный параллелепипед с изме­рениями, равными:  по направ­лению полярного радиуса,  по направлению меридиана,  по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение       

Заменив в тройном интеграле   по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование  - шар с центром в начале коор­динат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегриро­вания следует расставить так:

Если  - шар, то нужно положить

ТЕОРЕМА 1. Неопределенный интеграл каждой из простейших дробей вида 1 – 4 сводится к табличным интегралам (выражаются через элементарные функции).

В самом деле, имеем соответственно:

.

.

  – подробно рассмотрен ранее.

Интеграл  () заменами  и  сводится к сумме интегралов

; первый из этих интегралов вычислен ранее, ко второму – применима подстановка .

Интегрирование произвольной правильной рациональной
дроби основано на следующей теореме.


Вычислить криволинейный интеграл Вычислим объем шара