Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Матричные уравнения
Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид
, (1.24)
, (1.25)

, (1.26)

где – известные матрицы, а – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы и обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)). где продаются бахилы оптом в Москве

Предложение 1.8. Пусть матрицы и обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях соответственно, а их единственные решения определяются по формулам
, ()
, ()
, ()
◄ Так как уравнения (1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) ( в первом случае и во втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)
Пусть ,, тогда по необходимости матрицы и имеют размер . Так как ,, то для любой матрицы из существует матрица вида (). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем
,
т.е. матрица вида () является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.
Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство
.
Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу , получаем, что
или
.
т.е. имеет вид (). ►
Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.
Предложение 1.9. Пусть и . Тогда уравнения
, (1.27)
(1.28)
равносильны для любых матриц из .
◄ Действительно, если – решение уравнения (1.27), тогда . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем, что.
или ,
т.е. является решением уравнения (1.28). Наоборот, если – решение уравнения (1.28), тогда
.
Но матрица обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу , получаем, что
,
т.е. – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►
Упражнения
1. Выяснить, какие из следующих матриц равны
.
2. Написать матрицу, транспонированную данным:
.
3. Если матрица имеет вид
,
то каков вид матрицы ?
4. Матрицы и имеют вид:
а) б) .
Каковы размеры матрицы , если известно, что ?
5. Даны матрицы и . Найти матрицы .
а) ; б) ;
в) .
6. Найти произведение матриц , если:
а) ; б);
в) ; г)
д) ; е) ;

ж) ;
з) ;

и) ; к) ;
л) ; м) .
При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.
Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.
Свойство 1. ,
т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.
Свойство 2. ,
т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.
Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак "" стоит перед знаком "".
Свойство 3. ,
т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак "" стоит рядом и перед знаком "", то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции прибавляется произвольное число .