Смоленский учебный центр Атомная энергетика http://smutc.ru
Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

  (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению. Приложения тройного интеграла

Пусть  и  – действительные матрицы одного порядка, тогда

  (1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов  и  объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер  при некоторых натуральных значениях  и  и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых  и  из

  ◄ Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых  и  из

3) Среди всех матриц множества  существует единственная матрица , обладающая свойством

  (1.4)

для любой матрицы  из .

 ◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы  из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица  из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых  из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица   такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

  и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►

Матрица  называется нуль-матрицей, а свойство 3) – свойством существования и единственности нуль-матрицы.

4) Для любой матрицы  существует единственная матрица  такая, что

  (1.5)

 ◄ Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

  (1.6)

Тогда

.

В то же время,

. ►

Матрица  называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

 

Умножение матрицы на число

Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

.

Иначе говоря, умножение матрицы на число осуществляется поэлементно:

.

Отметим основные свойства введённой операции:

  ◄Действительно,

.  ►

 Заметим также, что противоположная матрица .

Формула Гаусса – Остроградского связывает поток вектора через замкнутую поверхность S, ориентируемую вектором нормали , направленный наружу по отношению к объему V, заключенному внутри поверхности S, с тройным интегралом по объему V от . Если вектор является вектором скорости жидкости, протекающей через объем V, то интеграл дает количество жидкости, вытекающей из объема V через поверхность S в единицу времени. Если жидкость втекает в объем V, то тройной интеграл получается отрицательным, т.к. <0.

Если =0 во всех точках объема V, то поток вектора равен 0. Это означает, что количество втекающей жидкости и вытекающей из объема V одинаковое.

Пример. Определить поток вектора  через внешнюю сторону сферы .

Найдем ;

Следовательно:


Вычислить криволинейный интеграл Вычислим объем шара