Примеры выполнения контрольной работы по математике

Матрицы и определители

Решить матричные уравнения АХ=В и YА=В.

Решение: Уравнение АХ=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Х=А-1В. Получаем:

 

Уравнение YА=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Y=ВА-1. Получаем:

3. Записать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения: 

Решение: Система линейных уравнений эквивалентна матричному уравнению АХ=В, где Х – столбец неизвестных; А – матрица коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений (необходимо следить за очередностью неизвестных в записи уравнения; если неизвестной в уравнении нет, значит, соответствующий коэффициент равен 0); В – столбец свободных коэффициентов:

; ;

4. Решить систему из п3 при помощи правила Крамера

Решение: Прежде всего, найдем определитель системы:

,

следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Для определения значения переменной х вычислим определитель , полученный из D заменой столбца коэффициентов при переменной х на столбец свободных коэффициентов:

, значит,  .

Аналогично, определитель  получаем из D заменой столбца коэффициентов при переменной y на столбец свободных коэффициентов:

,

.

Далее, определитель  получаем из D заменой третьего столбца на столбец свободных коэффициентов:

, 

Таким образом, решением системы является тройка чисел (-1;1;1). Подстановкой в уравнения системы убеждаемся, что решение найдено верно.

Замечание 1. Если область D является правильной в направлении обеих осей и границы описываются следующим образом:

нижняя граница: ; верхняя граница: ; x[a;b];

левая граница: ; правая граница: ; y[c;d],

то выполняется равенство:

Общеупотребительна другая запись повторных интегралов:

 

или

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.

Заметим, что  может быть любого знака, т.е. точка  может быть расположена на  и слева и справа по отношению к
точке . Число  – единственное, если предел существует и конечен. Поэтому касательная к  в точке  в этом случае ЕДИНСТВЕННАЯ (и она является
наклонной  или горизонтальной прямой).

Наличие единственной вертикальной касательной к графику функции  в точке  не определяет существование производной функции  в соответствующей точке , поскольку угол наклона такой касательной  и  не существует (будем записывать ).

Если в точке  существуют РАЗЛИЧНЫЕ касательные (слева и справа), то это означает, что  НЕ СУЩЕСТВУЕТ.