Примеры выполнения контрольной работы по математике

Вычислить криволинейный интеграл

по формуле Грина; замкнутый контур () складывается из двух кривых:  и  (см. рис. 80).

РЕШЕНИЕ.  Преобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина . Для заданного по условию интеграла получим . Вычислим двойной интеграл в декартовой системе координат. Имеем:

Рис.80

Замечание. Двойной интеграл может быть вычислен и в полярной системе координат:

.

Ответ. .

вычислить , если AB – отрезок прямой от точки A (0;0) до точки B(4;3). Прямая AB: y = kx, при x = 4 и y = 3:

3=4k ; т.е. AB:

Ответ: 

ТЕОРЕМА КОШИ (о промежуточном значении)

Если 1) ; 2) , то для любого числа , расположенного между числами  и , найдется значение
аргумента , такое, что .

Доказательство. Функция  удовлетворяет условиям ЛЕММЫ о нуле непрерывной функции, и поэтому существует , такое, что , итак, .

Теорема доказана.

Замечание. Для функции , непрерывной на , существует  (или ) , на концах которого функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений  и . По теореме Коши всякое промежуточное между  и  число является значением  в некоторой точке сегмента , а значит, и , т.е. непрерывная функция  отображает сегмент  в сегмент .