Тройные интегралы в декартовых координатах
Матрицы Пределы Примеры решения задач

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где  - отрезок прямой, , .

б) , где  - ломаная, , , .

в) , где  - дуга окружности , .

г) , где  - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Следовательно,

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке  , значит , . Поэтому .

На отрезке  , , . Поэтому

.

Искомый интеграл  равен .

в) Положим , тогда , . Следовательно,

=.

г) Зададим линию  параметрическими уравнениями: , , , .

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Поэтому =.

Теорема (о среднем значении тройного интеграла)

Если функция  непрерывна в замкнутой области DR3, то внутри области D найдется хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство:

где – объем тела D.

4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

Для вычисления тройного интеграла от функции  по области DR3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту проекцию  Пусть область D будет такой, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси 0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух точках. Пусть  и – уравнения поверхностей, ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис.1). Тогда можно записать:

Если область G окажется правильной

в направлении, например, оси 0Y, т.е.

  , то

 Рис.1


Изменить порядок интегрирования Задачи на интегралы