ОДУ первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения
Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):
а) 
; б) 
; в) 
;
г)
;
д) 
а) Запишем уравнение в дифференциальной форме.
Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что 
, получаем: 
. Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:
.
Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. если разделить обе
его части на 
, то все у соберутся
слева, а все х – справа.
б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:
. Поскольку
функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение
не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая
и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися
переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)
в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:
и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:
. Очевидно, это уравнение с разделяющимися
переменными (следует разделить обе части уравнения на 
)
г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку
функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися
переменными. Но они являются однородными (т.к. все слагаемые в них одной степени),
поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися
переменными подстановкой 
)
д) Предложенное уравнение
записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися
переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые
как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив
: 
. Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится
к однородному.
Вопросы и задачи:
п1. Дано дифференциальное уравнение:
. Являются ли решениями этого уравнения функции:
а) 
; б) 
; в) 
?
Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?
п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
ж); з)
; и)
п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)
Задачи к практическому занятию
1.
;
2.
; 3.
;
4.;
5.
;
6.
;
7.
;
8.;
9.
; 10.
11.
; 12.
;
13.
; 14.
Любую кривую y=f(x), заданную в декартовой системе координат можно
задать в полярной системе уравнением 
=(
), которое можно получить непосредственно, исходя из геометрических
свойств этой кривой, либо с помощью формул перехода от прямоугольных координат
к полярным.
Элементарной областью D в полярной системе координат считают
криволинейный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из полюса под углами
и 
к оси 0x (= и =), и кривой =() (рис.8)
рис.8
Определение. Область D в полярной системе координат называется правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух точках (рис.9)
Рис.9
Замечание 1. Если
полюс 0 лежит вне области D, то правильную область D в полярной системе координат
можно описать, как область, ограниченную двумя лучами = и = (
<) и кривыми
и 
(
) при 
)