ОДУ первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения
Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):
а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
![]()
а) Запишем уравнение в дифференциальной форме. Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что
, получаем:
. Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:
. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. если разделить обе его части на
, то все у соберутся слева, а все х – справа.
б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:
. Поскольку функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)
в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:
и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:
. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными (следует разделить обе части уравнения на
)
г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися переменными. Но они являются однородными (т.к. все слагаемые в них одной степени), поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
)
д) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив
:
. Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится к однородному.
Вопросы и задачи:
п1. Дано дифференциальное уравнение:
. Являются ли решениями этого уравнения функции:
а)
; б)
; в)
?
Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?
п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
ж)
; з)
; и)
п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)
Задачи к практическому занятию
1.
; 2.
; 3.
;
4.
; 5.
;
6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
![]()
11.
; 12.
;
13.
; 14.
Любую кривую y=f(x), заданную в декартовой системе координат можно задать в полярной системе уравнением
=
(
), которое можно получить непосредственно, исходя из геометрических свойств этой кривой, либо с помощью формул перехода от прямоугольных координат к полярным.
Элементарной областью D в полярной системе координат считают криволинейный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из полюса под углами
и
к оси 0x (
=
и
=
), и кривой
=
(
) (рис.8)
рис.8
Определение. Область D в полярной системе координат называется правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух точках (рис.9)
Рис.9
Замечание 1. Если полюс 0 лежит вне области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать, как область, ограниченную двумя лучами
=
и
=
(
<
) и кривыми
и
(
) при
)