Примеры выполнения контрольной работы по математике

Двойной интеграл

Задания для подготовки к практическому занятию

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных). Планшетний ПК Enot V131

Примеры

1.

.

2.

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах: Заказывайте на сайте lafleursalon.ru оригинальные композиции из цветов!

3.

Интеграл, вычисленный в последнем примере, называется повторным интегралом и записывать его принято так:

Вопросы и задачи

п1. Вычислить интегралы, если возможно:

 а) ; б) ; в)

п2. Вычислить повторные интегралы:

 а) ; б)

Задачи к практическому занятию

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1.;  2.;

3.;  4.

Изменить порядок интегрирования:

5.;  6.;

7.;  8.

Вычислить:

9.

10.

11.

12.

Двойной интеграл в полярной системе координат.

Полярная система координат считается заданной, если заданы:

1) точка 0, называемая полюсом;

2) полуось 0X, называемая полярной осью. На 0X выбрана масштабная единица.

Тогда положение точки М в этой системе координат определяют две величины:– угол наклона вектора  к полярной оси 0X и – величина вектора . (рис. 7)

Если задать декартовую систему координат, связанную с полярной так, чтобы ось 0X совпадала с 0X – полярной и ось 0Y была перпендикулярна к 0X, то можно установить связь между

 Рис.7 координатами точки М в обеих системах координат:

  или  ,

где (x;y) – координаты точки М в декартовой системе, - координаты той же точки М в полярной системе.

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке)

;

( – дифференцируемая в точке )  

 .

Доказательство. () По определению дифференцируемости функции в точке имеем ; отсюда
при   получаем . Поскольку , то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем существование .

Итак, для дифференцируемой в точке  функции ее приращение представимо в виде

.

() Если существует , то существует , т.е.  – бесконечно малая функция при . Отсюда  и здесь ,  при , т.е. .

Полученное представление для  доказывает дифференцируемость функции по определению.