Производная функции в точке

 

ПРИМЕР. Для  при    и в точке  касательная единственная, ее уравнение ; при  производная функции не существует, так как в точке   к графику функции можно провести ДВЕ касательные: слева  и справа . Аналогично  не существует.

3.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ;

( – дифференцируемая в точке )  

 ,

т.е. приращение функции в точке  представимо в виде суммы
линейной функции от   (главная часть приращения функции) и некоторой функции бесконечно малой при  большего порядка по сравнению с .

ПРИМЕР. Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке .

РЕШЕНИЕ. Пусть  – произвольное. Тогда

,

т.е.  – дифференцируемая в точке .

Замечание. Выражение  называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ (первого порядка) функции   в точке  соответственно  
и обозначается 

  или .

Для дифференцируемой в точке  функции справедливо
приближенное равенство , где  – погрешность приближения  или

.

Оно может использоваться для приближенного вычисления значения функции   в точке , расположенной "достаточно близко" к 
точке .

ПРИМЕР. Вычислить приближенно .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим , , . Тогда . Итак,  с погрешностью .

Геометрическая иллюстрация приближенного равенства: для , "близких" к , график функции  может быть приближенно заменен отрезком касательной , тем самым решается задача локальной ЛИНЕАРИЗАЦИИ функций.

 

Техника дифференцирования отрабатывается на основе правил дифференцирования и формул производных конкретных функций. Обозначения производной функции  : ; . Если  – произвольная точка интервала , то  – функция аргумента , .

 

Контрпример. Пусть , . Тогда  – существует для любого . Но можно взять  и  и тогда слагаемые функции – не дифференцируемые на , поскольку при  их производные не существуют.

Доказательство. 1. Пусть. Тогда

.

Применяем теорему о пределе суммы, получаем

,

т.е. производная суммы двух дифференцируемых функций существует и равна сумме производных слагаемых функций.

Впредь формулы для простоты будем записывать, опуская
аргумент, т.е. в виде .

Утверждение может быть обобщено на любое конечное множество слагаемых дифференцируемых функций.

2. Аналогично для  имеем

.

Поэтому 

. Здесь применяем теорему о пределе суммы и произведения функций, а также теорему о непрерывности дифференцируемой функции. Итак,

.

Частные случаи: ;

, здесь  – третья дифференцируемая в точке  функция.

3. Для ,   на , рассуждения проводятся аналогично. Рекомендуем провести их самостоятельно.

Частные случаи: ; .

Дифференцируемость сложной функции.

Если  1) ,  – дифференцируемая в точке  функция для  ; 2) ,  – дифференци-руемая в точке  функция, то сложная функция ,  – дифференцируемая функция в точке , причем

  при , .

Доказательство. Используя дифференцируемость компонент, покажем дифференцируемость сложной функции через существование ее производной в точке. Пусть  – фиксированная точка, ,  – произвольное приращение независимого переменного , . Тогда

;

  (считаем ). Тогда существует . Здесь используется теорема о пределе произведения функций, а также свойство непрерывности дифференцируемой функции: .

Итак, производная сложной функции  в точке  существует и по теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости  дифференцируема в точке , причем

.