Примеры выполнения контрольной работы по математике

Замена переменной и интегрирование по частям

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Задания для подготовки к практическому занятию

Итак, для вычисления неопределенного интеграла необходимо свести его к табличному, выбирая для этого на каждом шаге одно из трех действий:

- упрощение (разложение на слагаемые),

- замену переменной (включая сюда и внесение под дифференциал),

- интегрирование по частям.

Примеры

  - табличный интеграл (вынести )

  - упростить, разделив почленно числитель на знаменатель

  - сделать замену t=-(x2+1) (или внести х под знак дифференциала)

  - берется по частям (u=x, dv=cos(1-px)dx)

Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене – способ выбора замены переменной. Для того, чтобы выделить полный квадрат, надо вспомнить формулу сокращенного умножения:

Подчеркнуты два слагаемых, на которые мы будем опираться при выделении полного квадрата. Перепишем равенство:

Пример

Рассмотрим квадратный трехчлен . Прежде всего вынесем за скобки множитель перед х2:

Первые два слагаемых в скобках соответствуют первым двум слагаемым в правой части формулы квадрата суммы. Следовательно, очевидно, . Таким образом, получаем:

.

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке)

;

( – дифференцируемая в точке )  

 .

Доказательство. () По определению дифференцируемости функции в точке имеем ; отсюда
при   получаем . Поскольку , то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем существование .

Итак, для дифференцируемой в точке  функции ее приращение представимо в виде

.

() Если существует , то существует , т.е.  – бесконечно малая функция при . Отсюда  и здесь ,  при , т.е. .

Полученное представление для  доказывает дифференцируемость функции по определению.