ПРИМЕР. Задано высказывание

, : ,

здесь   – действительные числа.

Прочитать высказывание, выяснить его смысл, установить – истинно оно или ложно, построить отрицание высказывания.

РЕШЕНИЕ. Записано высказывание: существуют действительные числа   и , такие, что оба они положительны, причем   и . Высказывание ложное, так как равенству   могут удовлетворять ненулевые числа только противоположные по знаку. Отрицание заданного высказывания есть высказывание

   .

Для построения отрицания дизъюнкции и конъюнкции высказываний можно применить ПРАВИЛА де Моргана:

,  .

Для рассматриваемого в примере высказывания имеем отрицание: ,  . Это высказывание является истинным, поскольку 1) при  истинно , а 2) при ,  или ,  истинно утверждение  (см. таблицу истинности дизъюнкции высказываний).

СТРОЕНИЕ  ТЕОРЕМЫ

Всякая теорема в математике состоит из разъяснительной части (описания тех объектов, о которых идет речь в теореме) и связанных между собой высказываний. Под теоремой понимают всегда истинное высказывание. Теоремы часто формулируют в виде импликаций вида . Такая импликативная структура утверждения (теоремы) удобна для выделения УСЛОВИЯ и ЗАКЛЮЧЕНИЯ теоремы. Если импликация  выражает теорему, то высказывание  есть условие теоремы, а высказывание  – заключение теоремы. Конечно, сами условия и заключения теоремы могут иметь определенную логическую структуру (как правило, это конъюнкция или дизъюнкция высказываний более элементарных).

Теорема может быть записана в виде схемы:

Разъяснительная часть теоремы содержит кванторы.

Обратная и противоположные теоремы

Если при неизменной разъяснительной части (р.ч.) в теореме  рассмотреть импликации , ,  и они истинные высказывания, то получим соответственно следующие
утверждения:

  – обратная (по отношению к исходной – прямой теореме) теорема;

  – противоположная теорема;

  – обратная противоположной теорема.

С помощью таблицы истинности этих импликаций:

И

И

Л

И

И И Л Л	И Л И Л	И Л И И	И И Л И	Л Л И И	Л И Л И	И Л И И

можем обосновать эквивалентность прямой и обратной противоположной теорем, а также обратной и противоположной теорем, т.е.  и .

Заметим, что истинность теорем доказывается на основе предложений, доказанных ранее или же принятых без доказательства в качестве аксиом.

ПРИМЕР. Рассмотрим в качестве прямой теоремы утверждение:
если последовательность сходится, то она ограничена, т.е.

; [ – сходится]  [ – ограниченная]

 разъясн. часть условие теоремы заключение

или

  .

ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:

  ; [ – ограниченная]  [ – сходится]

является ложным, так как можно привести пример ограниченной последовательности, которая не имеет конечного предела, например, последовательность .

Итак, : [ – ограниченная]  [ – сходится].

Тем самым построили КОНТРПРИМЕР, показывающий ложность обратного утверждения к прямой теореме.

ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:

; [ – не сходится]  [ – неограниченная] является ложным, так как можно построить КОНТРПРИМЕР, т.е.
указать такую последовательность, которая не имеет конечного
предела, но является ограниченной, например .

ОБРАТНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ ТЕОРЕМА:

:  [ – неограниченная]  [ – не сходится] является истинной, доказать это легко методом от противного.

Если предположить, что неограниченная последовательность сходится, то по прямой теореме она должна быть ограниченной.

Необходимые и достаточные условия

Пусть доказана теорема . Тогда говорят, что условие  является ДОСТАТОЧНЫМ для истинности заключения  (в то же время, высказывание  – НЕОБХОДИМОЕ условие истинности ).

Рассмотрим при этом ОБРАТНОЕ утверждение .

Если это утверждение истинно, т.е. обратная теорема доказана,
то ее условие   является ДОСТАТОЧНЫМ для истинности   (в то же время,  – НЕОБХОДИМОЕ условие истинности).

Таким образом, если истинны прямая и обратная теоремы, то их объединяют в одной формулировке, используя логическую операцию тождества высказываний , и используют слова "необходимо и достаточно", "тогда и только тогда, когда" и т.д. Здесь условие  является НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ (одновременно) для истинности  (в свою очередь, высказывание  – необходимое и достаточное условие для истинности ).

Связь понятий "сходимость" и "ограниченность" последовательности (разобрана ранее) позволяет сказать, что "сходимость" – лишь достаточное условие "ограниченности" последовательности. С другой стороны, "ограниченность" последовательности – лишь необходимое условие "сходимости" ее (не является достаточным). Теорему о связи этих понятий можно сформулировать только как одностороннюю теорему, словами "если …, то …".

ПРИМЕРЫ теорем с необходимым и достаточным (одновременно) условием:

  ( – равнобедренный)

  (углы при одной из сторон равны).

, , ()  

  .