Монументальная живопись Барокко http://arthisto.ru/
Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

[an error occurred while processing this directive]

Элементы теории множеств

СИМВОЛИКА

МНОЖЕСТВО. ОПЕРАЦИИ. МОЩНОСТЬ

Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством.

Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Обычно множества обозначают большими буквами , а их элементы – малыми буквами  преимущественно латинского алфавита.

Если  – элемент множества , то говорят: " принадлежит " и записывают , в противном случае  или  и читают: "" не принадлежит ".

Отношения между множествами определяются соотношениями:

 – множество  является подмножеством множества ; при этом каждый элемент множества  является элементом множества ;

  – множество  является собственным  подмножеством множества ; здесь существует хотя бы один элемент
множества , не принадлежащий множеству ;

  – равны множества, если одновременно  и .

Очевидны свойства:

пустое множество  является собственным подмножеством всякого не пустого множества, т.е. ; любое множество – несобственное подмножество самого себя, т.е. ; для произвольных множеств  если  и , то .

Задать множество можно либо перечислением всех его элементов, либо указанием характеристического свойства элементов множества. Например, множество  – задано перечислением его четырех элементов. Множество  состоит из натуральных чисел, таких, что квадрат этих чисел равен
единице, т.е. .

Заметим, что в последующем широко пользуемся обозначениями:

 – множество всех натуральных чисел;

  – множество всех целых чисел;

  – множество всех рациональных чисел;

  – множество всех иррациональных чисел (чисел, не являющихся рациональными);

  – множество всех действительных чисел; составлено из всех чисел множеств  и ;

  – интервал;

– полуинтервал;

  – сегмент (отрезок);

  – полусегмент;

здесь  – действительные числа ; множества – числовые промежутки.

Считаем, что сравнение действительных чисел, операции над действительными числами, свойства этих операций известны из школьного курса математики.

ОПЕРАЦИИ над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

ОБЪЕДИНЕНИЕ (сумма) множеств  и , обозначается , есть множество, каждый элемент которого принадлежит множеству  или множеству   (хотя бы одному из объединяемых множеств), т.е. . [an error occurred while processing this directive]

Для иллюстрации операции можно пользоваться диаграммой: если  и  состоят из точек внутри соответствующих овалов
(см. рисунок), то  – множество всех точек заштрихованной области, причем общие точки используются в качестве элементов объединения только один раз.

ПРИМЕР. Если  и , то .

Запись   означает, что  и  (одновременно).

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (произведение) множеств  и , обозначается , есть множество, каждый элемент которого принадлежит
множеству  и множеству  (одновременно), т.е. .

На диаграмме  соответствует общей части овалов.

ПРИМЕР. Если  и , то .

Запись   означает, что  или  (хотя бы одному).

РАЗНОСТЬ множеств , т.е. это множество, каждый элемент которого принадлежит множеству  и не
принадлежит множеству .

Например, если  и , то .

На диаграмме множество  соответствует тем точкам
множества , из которых удалены точки множества .

Иногда рассматривается симметрическая разность двух
множеств.

.

Если рассматриваются подмножества одного и того же множества, то это множество иногда называется универсальным и обозначается через . Например, числовые промежутки – подмножества множества , в этом смысле   – универсальное множество.

Если   – универсальное множество и , то ДОПОЛНЕНИЕ множества  (до универсального множества) есть разность

.

Геометрически множество  соответствует всем тем точкам
из , которые не принадлежат , итак, .

Непосредственно проверкой можно установить справедливость следующих (основных) свойств введенных теоретико-множественных операций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. Законы де Моргана:

  .

[an error occurred while processing this directive]
Открыть chem24.biz в обход блокировки Роскомнадзора Функции комплексной переменной Вычислить работу