Примеры выполнения контрольной работы по математике

Локальный экстремум ФНП

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

  (*)

в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Если   – область определения ФНП, то задача (*) называется задачей нахождения  ФНП без ограничений (задачей безусловного экстремума).

Пусть ФНП  задана на области ,  – внутренняя точка этой области. Тогда ФНП  имеет в точке  локальный безусловный , если существует окрестность , для всех
точек  которой приращение функции  сохраняет знак, причем  при ,  при .

Необходимые условия существования локального экстремума ФНП: если в точке   ФНП  имеет локальный экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют.

Для дифференцируемой в точке экстремума функции  все частные производные , , т.е. при  . Итак, точки локального экстремума ФНП  находятся либо среди точек, в которых функция не дифференцируемая, либо среди тех, в которых дифференциал первого порядка обращается в ноль.

Достаточные условия существования локального экстремума: для дважды непрерывно дифференцируемой ФНП , если  и если  является положительно определенной (соответственно отрицательно-определенной) квадратичной формой относительно приращений независимых переменных, то в точке  функция  имеет локальный минимум (соответственно максимум).

Действительно, поскольку имеем

,

где , то интуитивно ясно, что в достаточно малой окрестности точки  – "подозрительной" точки на    – получаем

.

Для установления знакоопределенности квадратичной формы  применяется критерий Сильвестра

Пусть матрица  имеет главные миноры

,  .

Для положительной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны, т.е.  .

Для отрицательной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы знаки значений главных
миноров чередовались, начинаясь с отрицательного, т.е.

.

ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум

.

Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум:

НУ:   и .

Для применения достаточных условий (сокращенно ДУ) составляем  и рассматриваем его определенность в каждой
"подозрительной" на экстремум точке; имеем

 –

квадратичную форму относительно  и .

ДУ: ,  ; матрица коэффициентов этой квадратичной формы имеет вид ; для нее , . Критерий Сильвестра не выполняется. Нужны дополнительные
исследования, их можно провести, например, следующим образом.

Пусть  – произвольная -окрестность () точки . Поскольку , то найдутся точки, принадлежащие этой окрестности, в которых  имеет значения различных знаков, например, в точке  , а в точке  имеем .

Итак, во всякой -окрестности точки  приращение функции не сохраняет знак. Это означает, что точка  не является точкой экстремума для рассматриваемой функции.

В точке  матрица коэффициентов квадратичной формы  имеет вид , для нее , . Согласно критерию Сильвестра  – положительно определенная квадратичная форма; по ДУ в точке  функция имеет локальный (безусловный) минимум, причем .

АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФНП

ПРИМЕР. ,

   (см. рисунок).

Решение. 1) , . Точка  
лежит внутри области .

2) на отрезке  , , имеем ,  при . Точку  фиксируем для дальнейших рассуждений

На отрезке  , , имеем

  или ;  при , поэтому точку  также отбираем.

На отрезке  , , имеем  – не имеет точек экстремума на ;

3) точки "стыка" , ,  границы ;

4) вычисляем значение функции в отобранных точках , , получаем конечное множество чисел

.

Отсюда , .

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Производная постоянной равна нулю.

.

В самом деле, пусть , . Тогда для любой точки  . Поэтому   и , т.е. .

Производная суммы, произведения и частного дифференцированных функций.

, , ;  – фиксированная точка;

 .

Заметим сразу, что обратные утверждения не верны, т.е.,
например, из существования производной суммы двух функций не следует существование производных слагаемых.