Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.
Задания для подготовки к практическому занятию
Выучите основную таблицу интегралов.
Примеры
1.
Проверьте, верно ли найден интеграл: 
Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:
.
Поскольку
полученная производная не совпадает с подынтегральной функцией 
, значит, интеграл найден не верно. миостимуляторы.
(Заметим
впрочем, что исправить ситуацию в данном случае легко, домножив правую часть данного
равенства на 
: 
.)
Вычислить интегралы:
2. 
;
3. 
; 4.
; 5. 
Решение:
2. Данный интеграл является табличным (№10) с точностью до постоянного множителя 2 перед х2:
3. Представим дробь под интегралом в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:
.
4. Чтобы свести данный интеграл к табличным, применим простые тригонометрические преобразования:
5. Интеграл отличается от табличного (№3) линейной заменой (5-3х вместо х). Воспользуемся правилом линейной замены (§17.1):
.
Следует помнить правило этого перехода:
Заменить 
и 
в функции f (x;y) и в уравнениях границ области D;
Заменить
;
При вычислении двойного интеграла в полярных
координатах внешний интеграл вычисляется по
от 
до
, а внутренний по
от 
до 
- если полюс 0 лежит вне области D. Если полюс 0 лежит
внутри области D, то внешний интеграл по от 0 до 
, а внутренний по от 0 до (граница области D).
Пример. Вычислить 
, если D: 
Чертеж области D:
- круг с центром в точке: (1;0) и радиусом r = 1:
В полярной системе уравнение
1)
преобразуется:
(рис.10)
2) прямая 
;
Ответ:
.
;
– дифференцируемая в точке 
) 
.
) По определению дифференцируемости функции в точке имеем
; отсюда 
получаем 
. Поскольку 
, то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем
существование 
.
.
)
Если существует 
, то существует
, т.е. 
– бесконечно малая функция при 
.
Отсюда 
и здесь 
, 
при 
.
доказывает дифференцируемость функции по определению.