Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Решение примерного варианта контрольной работы №2
Задача 3. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L: от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .
Решение.
Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)): .
Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:
.
Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:
Сделаем замену переменной в определенном интеграле:
, ,
тогда получим: .
Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:
Ответ: ед. работы.
Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:
. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.
Решение.
Вектор-функция задана в виде: .
Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:
Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):
.
Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:
, .
Ответы: , .
ЗАДАЧА (наилучшего локального приближения)
Пусть произвольная функция с "хорошими" свойствами рассматривается на какой-либо окрестности точки . Найти многочлен заданной степени так, чтобы отклонение на было наименьшим.
РЕШЕНИЕ. Ищем в виде многочлена по степеням разности : .
Тогда естественно потребовать выполнение соотношений
при , т.е. ;
при , т.е.
;
при , т.е.
.
Аналогично и далее .