Производная и дифференциал. Исследование функций.
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте предложенные рассуждения и примеры.
1. Дифференциал функции
Пример. Дана функция 
. Найти ее первый дифференциал dy
Решение: Воспользуемся
формулой первого дифференциала: 
.
. Таким образом, 
.
2. Производные и дифференциалы высших порядков
Пример. Дана функция 
Найти 
Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала:
. Для того. Чтобы найти вторую производную
, продифференцируем данную функцию
последовательно дважды:
;
.
Таким
образом, 
задачи
Выполнить, если возможно, действия с матрицами:
; где
.
Даны векторы: 
. Найти площадь треугольника, который образуют эти векторы,
отложенные из одной точки
Даны векторы: 
. Найти:
векторное произведение 
; скалярное произведение 
Вычислить пределы:
;
; 
; 
; 
; 
; 
Дана функция у=у(х). Найти: y´; dy
;
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Замечание 2. Если полюс 0 лежит внутри области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать неравенствами:
;
.
Переход от прямоугольных координат к полярным в двойном интеграле проводится для упрощения его вычисления в случае, если:
1) функция f (x;y) зависит от 
или от 
, т.к. 
и 
;
2) если область D ограничена кривыми, уравнения которых легко преобразуются в полярные координаты.
Теорема. Пусть выполнены условия:
f (x;y) непрерывна в замкнутой области D;
Область D является
правильной в полярной системе координат, т.е. область D задана неравенствами:
, 
≤
≤
;
Функции
и непрерывны при 
.
Тогда справедливо равенство:
;
– дифференцируемая в точке 
) 
.
) По определению дифференцируемости функции в точке имеем
; отсюда 
получаем 
. Поскольку 
, то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем
существование 
.
.
)
Если существует 
, то существует
, т.е. 
– бесконечно малая функция при 
.
Отсюда 
и здесь 
, 
при 
.
доказывает дифференцируемость функции по определению.