Производная и дифференциал Примеры решения задач Вычисление кратных интегралов

Примеры выполнения контрольной работы по математике

Решение примерного варианта контрольной работы №1
Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =
= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;
F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2ez + 4y;
F = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2yez – sin (x3 – z).
По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):
;
По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):
.
Ответы: ; ;
.
Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где x = cos3t, . Найти полную производную .
Решение. Используя формулу (4), получаем:
.
Подставив в полученный результат x = cos3t, , получим выражение полной производной через независимую переменную t:
Ответ: .
Контрпример. Пусть
Тогда для всякого разбиения на можно указать систему точек такую, что и поэтому , а также , т.е. . При не существует единого предела для интегральной суммы, не зависящего от
и , т.е. функция , будучи ограниченной на , не является интегрируемой (по Риману) на .
Аналогичные соображения имеют место и для в общем случае:
если интеграл , построенный соответственно рассмотренной выше процедуре (по Риману), существует, то –
ограниченная на функция, т.е. только для ограниченных на функций , , можно рассматривать указанный интеграл.
Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана подробно изложены, например, в [1].
Сформулируем некоторые ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования определенного интеграла, т.е. укажем классы функций , , интегрируемых по Риману: если
либо 1) – непрерывна на ,
либо 2) – кусочно-непрерывна и ограничена на ;
либо 3) – монотонная или кусочно-монотонная и ограничена на , то определенный интеграл существует (имеет конечное значение).
Впредь будем предполагать, что все рассматриваемые функции и множества , , обладают ("хорошими") свойствами, нужными для существования интеграла .