Примеры выполнения контрольной работы по математике

Производная функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Примеры.

Вычислить производные функций:

а); б); в); г)y=sin2x; д)y=ln(x2+1)

Решение:

 а)

 .

 б)

 .

 в) .

 г) .

 д) .

 Производная широко применяется в исследовании функции и при решении связанных с этим практических задач.

 В том числе дифференцирование применяют для вычисления пределов, используя так называемое правило Лопиталя:

Предел отношения функций, представляющий неопределенность вида  или , равен пределу отношения их производных: 

Теорема (о среднем значении двойного интеграла).

Если функция z = f (x;y) непрерывна в замкнутой области D, то внутри области D найдется, хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:

 ,

где   – площадь области D.

Доказательство: По свойству непрерывной функции в замкнутой области, функция z = f (x;y) в области D достигает своих наименьшего (m) и наибольшего (M) значений.

Значит: m ≤ f (x;y) ≤ M для .

Тогда для всех  можно записать ,

где

Умножая последнее неравенство на ∆Si > 0, получим:

 

Суммируем все n неравенств 

  

Вынесем m и М за знаки сумм (как постоянные величины) и перейдем к пределам при n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку):

 

Ссылаемся на определение двойного интеграла и получаем:

 

По свойству непрерывной в замкнутой области функции, функция z = f(x;y) в области D принимает все промежуточные значения между наименьшим (m) и наибольшим (М) значениями.

Следовательно, существует точка , в которой:

 

Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.

Заметим, что  может быть любого знака, т.е. точка  может быть расположена на  и слева и справа по отношению к
точке . Число  – единственное, если предел существует и конечен. Поэтому касательная к  в точке  в этом случае ЕДИНСТВЕННАЯ (и она является
наклонной  или горизонтальной прямой).

Наличие единственной вертикальной касательной к графику функции  в точке  не определяет существование производной функции  в соответствующей точке , поскольку угол наклона такой касательной  и  не существует (будем записывать ).

Если в точке  существуют РАЗЛИЧНЫЕ касательные (слева и справа), то это означает, что  НЕ СУЩЕСТВУЕТ.