Примеры выполнения контрольной работы по математике

Матрицы и определители

Задания для подготовки к практическому занятию

Примеры.

Даны матрицы:

1. Какого размера матрица А? Перечислите ее элементы.

  Решение: В данной матрице 2 строки и 3 столбца, значит, это матрица размера 2´3.

Элемент матрицы А в первой строке и первом столбце обозначается а11 и равен в данном случае а, т.е. а11=а. Элемент в первой строке и втором столбце а12=0. Далее, а13=1, а21=-2,5, а22=-b, а23=0.

2. Какого размера матрица АТ? Выпишите ее. Новое про фондюшница купить киев. Посуда для фондю в киеве по адресу пр-т Московский, 8

  Решение: Для того, чтобы найти матицу АТ, надо в матрице А заменить строки на столбцы и наоборот. Значит, в матрице АТ будет 3 строки и 2 столбца, т.е. АТ – матрица размера 3´2. При этом первая строка матрицы А станет первым столбцом матрицы АТ, вторая строка станет вторым столбцом:

3. Найдите 2А+В. Существует ли А+2С?

Решение: Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число, при этом размер матрицы, конечно, сохранится. Следовательно, . Чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие в этих матрицах на одинаковых местах. При этом размеры матриц должны совпадать и результат будет матрицей того же размера. Следовательно,

.

Сумма А+2С не существует, так как А – матрица размера 2´3, а матрица 2С, как и матрица С, размера 2´2, так что элементы в третьем столбце матрицы А просто не с чем складывать.

4. Существуют ли произведения АВ, АС, ВА, СА?

Решение: Для того чтобы существовало произведение матриц, надо чтобы количество столбцов первой матрицы совпадало с количеством строк второй матрицы. При этом произведение матриц содержит столько же строк, сколько первая матрица и столько же столбцов, сколько вторая. Рассмотрим попарно данные матрицы и их размеры, подчеркнем те числа, которые должны совпадать чтобы их произведение в указанном порядке существовало:

А – 2´3, В – 2´3, не совпадают, следовательно, АВ не существует;

А – 2´3, С – 2´2, не совпадают, следовательно, АС не существует;

В – 2´3, А – 2´3, не совпадают, следовательно, ВА не существует;

С – 2´2, А – 2´3, совпадают, следовательно, СА существует и является матрицей размера 2´3.

5. Существуют ли определители матриц А, В, С? Если да, вычислите.

Решение: Определитель существует только у квадратной матрицы. Следовательно, матрицы А и В не имеют определителей. Определитель матрицы С вычислим по правилу для определителей второго порядка:

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Определение 1 Замкнутая область D называется правильной в направлении оси 0y (или 0x), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси 0y (или 0x), пересекает границу области D только в двух точках.

  

 Рис.2 Рис.3 Рис.4 Рис.5

На рисунках:

2 – D правильная в направлении 0y;

3 – D правильная в направлении 0x;

4 – D правильная в направлении 0x, но неправильная в направлении 0y;

5 – D правильная в направлении 0y, но неправильная в направлении 0x.

.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.

Заметим, что  может быть любого знака, т.е. точка  может быть расположена на  и слева и справа по отношению к
точке . Число  – единственное, если предел существует и конечен. Поэтому касательная к  в точке  в этом случае ЕДИНСТВЕННАЯ (и она является
наклонной  или горизонтальной прямой).

Наличие единственной вертикальной касательной к графику функции  в точке  не определяет существование производной функции  в соответствующей точке , поскольку угол наклона такой касательной  и  не существует (будем записывать ).

Если в точке  существуют РАЗЛИЧНЫЕ касательные (слева и справа), то это означает, что  НЕ СУЩЕСТВУЕТ.