Теория вероятностей Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Формулы комбинаторики

     При подсчете вероятностей часто бывают, полезны так называемые формулы комбинаторики, к описанию которых мы сейчас и перейдем.

     Пусть имеется множество А, состоящее из n различных элементов, и пусть k £ n..

    Размещением из n элементов по k называется любое подмножество множества А, содержащее k элементов, расположенных в определенном порядке. Таким образом, одно размещение, отличается от другого либо составом элементов, либо порядком следования элементов.

    Если k=n, то размещение из n элементов по n называется перестановкой.

     Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество множества А, содержащее k элементов. Таким образом, одно сочетание отличается от другого только составом элементов. Порядок следования элементов не важен.

      Число всех возможных размещений из n элементов по k обозначается   и вычисляется по формуле

      (1.1)

     Число всех возможных перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле

    .  (1.2)

     Число всех возможных сочетаний из n элементов по k обозначается Cnk и вычисляется по формуле 

    .  (1.3)

    Основные понятия и формулы теории вероятности

    Опыт – это комплекс условий, при выполнении которых может появиться то или иное событие. Событие называется детерминированным, если в результате опыта оно всегда наступает.

     Событие называется случайным, если в результате опыта оно может как наступить, так и не наступить.

     Теория вероятностей изучает массовые случайные события, опыт по получению которых можно повторять как угодно много раз, а частота появления события с ростом числа опытов приближается к некоторому пределу (свойство устойчивости частоты).

     События обозначаются большими буквами латинского алфавита.

    Пример. Опыт состоит в том, что студент, прослушав курс теории вероятностей и выполнив необходимые задания, сдает экзамен.

    Возможные события: A - студент сдал экзамен на 5, B - сдал на 4, C -

    сдал на 3, D - не сдал экзамен, E - студент сдал экзамен (на какую оценку не важно).

    Пример. Опыт состоит в том, что игральная кость бросается один раз. Возможные события: A - выпала цифра, большая 3, B - выпало четное число, C - выпало простое число, и т. д.

    В теории вероятностей степень возможности наступления данного события A в результате опыта принято выражать числом от 0 до 1. Это число называют вероятностью события и обозначают P(A).

    Предполагается, что для большинства недетерминированных явлений такая степень возможности их наступления объективно существует.

    По определению 0£ P(A) £1. Таким образом, P(A) есть числовая функция, определенная на множестве всех событий, которые могут произойти в опыте.

     События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно (в одном опыте).

     События называются независимыми, если вероятность наступления одного не зависит от того, наступило или нет другое событие.

     События называются равновероятными, если их вероятности равны.

     События образуют полную группу, если в каждом опыте одно из них обязательно наступает.

     Пусть А и В некоторые события. Событие, которое наступает, когда наступает событие А или событие В называется суммой этих событий и обозначается А+В.

     Событие, которое наступает, когда наступают А и В одновременно, называется произведением этих событий и обозначается АВ.

      Событие называется противоположным, если оно наступает тогда и только тогда, когда не наступает само событие. Событие, противоположное событию А обозначается .

     Событие называется элементарным, если его нельзя представить в виде суммы других более простых событий.

     Опыт называется схемой случаев, если для него существует полная группа элементарных равновероятных несовместных событий. Такие события называются исходами опыта.

    Если опыт есть схема случаев, то вероятность любого события A определяется равенством:

      (1.4)

    где n – число всех исходов опыта, а m – число исходов опыта, благоприятствующих появлению события А (то есть таких исходов, при которых событие А наступает). Это так называемая классическая формула вычисления вероятности.

    При статистическом определении в качестве вероятности события А приближенно принимают его относительную частоту

     (1.5)

    где m – число испытаний, в которых событие А наступило, а n – общее число произведенных испытаний. Чем больше n, тем точнее формула.

    Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления:

    P(A+B)=P(A)+P(B)-P. (1.6)

     Если события А и В несовместны (т.е. в результате опыта они не могут появиться одновременно), то P(AB)=0 и

    P(A+B)=P(A)+P(B).  (1.7)

     При решении задач часто вычисляют вероятность противоположного события А, а затем находят вероятность самого события А по формуле

      (1.8)

     Вероятность появления события A при условии, что в опыте наступило событие B называется условной вероятностью события A при условии B, и обозначается  PB (A).

    Теорема умножения вероятностей. Вероятность одновременного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого

    . (1.9)

      Если события А и В независимы (т.е. появление одного из них не влияет на вероятность появления другого), то

    .  (1.10)

    Замечание. Теоремы сложения и умножения вероятностей можно обобщить на большее число слагаемых или сомножителей. Например, для трех событий

      (1.11)

      Для нахождения суммы независимых событий  выгодно перейти к противоположным событиям:

      (1.12)

     Если событие А может наступать только при появлении одного из несовместных событий (гипотез)  образующих полную группу событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:  

      (1.13)

    где - вероятность гипотезы,  – условная вероятность события А при этой гипотезе. Для полной группы несовместных событий

     Вероятность того, что в n независимых испытаниях "успех" наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли

      (1.14)

    где p – вероятность появления "успеха" в каждом испытании, q=1-p – вероятность "неудачи".

     В случае, когда n велико, а p – мало (обычно ) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона:

      (1.15)

    где .

     Таблица значений функции  приведена в [4, 5].

     Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов k находится между и  равна

      (1.16)

    где  вычисляют по формуле Бернулли или по формуле Пуассона.

      Формулы Лапласа применяют для приближенного вычисления вероятностей  и в n независимых испытаниях, если n велико, а p не близко ни к 0 ни к 1.

    Дискретная случайная величина

     Числовую величину, которая в результате опыта может принять одно из своих значений, заранее не известно какое, называют случайной величиной.

     Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа.

     Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:

    Х

    Причем всегда

    .  (2.1)

     Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

     Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины Xn p , равной числу появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.

    Ясно, что вероятность того, что Х примет значение k (события А появится k раз) вычисляют по формуле Бернулли:

      (2.2)

     Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений значений случайной величины на их вероятности

    .  (2.3)

     Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения

      (2.4)

     Дисперсию случайной величины удобно вычислять по формуле

      (2.5)

     Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

      (2.6)

     Математическое ожидание и дисперсия биноминального закона, соответственно, равны

    M(X) = np и D(X)= npq. (2.7)

     Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(x), которая для каждого значения х равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х

    F(x)=P(X<x). (2.8)

     Функция распределения обладает следующими свойствами:

     1) ;

     2) если

     3)

     Доказано, что вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале [], равна приращению функции распределения на этом интервале

      (2.9)

    Непрерывная случайная величина

    Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать

    все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка и при этом ее функция распределения дифференцируема.

      Плотностью распределения f(x) случайной величины X называют производную от функции распределения этой случайной величины

    .  (3.1)

     Функция плотности распределения  обладает следующими свойствами:

     1)

     2) 

     В частности, если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то

      (3.2)

     Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х в результате опыта примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством

      (3.3)

     Зная плотность распределения  можно найти функцию распределения F(x) по формуле

      (3.4)

     Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляют по формуле

    , (3.5)

    где  – плотность распределения.

     Дисперсию непрерывной случайной величины Х вычисляют по формуле

      (3.6)

    где  

     Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х есть квадратный корень из дисперсии

     

     Случайная величина распределена равномерно на интервале (a, b), если ее плотность распределения сохраняет на этом интервале постоянное значение, равное

      (3.7)

     Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которой имеет вид

      (3.8)

    при этом а – математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону.

     Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , можно вычислить по формуле

      (3.9)

    где Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в [4, 5].

     Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от ее математического ожидания будет меньше положительного числа , равна

      (3.10)

     Показательным называют закон распределения случайной величины, функция плотности распределения которой имеет вид

      (3.11)

    где - положительная константа.

     Пример 1. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8 (событие А)?

     Решение. Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (х, у), где х и у – цифры, выпавшие на первой и второй кости, соответственнo x, y = 1, 2, …6. Общее число элементарных исходов n = 36.

     Событию А благоприятствуют пары (6, 2), (2, 6), (5, 3), (3, 5), (4, 4), число которых m =5.

     Следовательно,  

     Пример 2. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на первый вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

     Решение. Рассмотрим следующие события: А – студент сдал зачет, - студент ответил на первый вопрос, - студент не ответил на первый вопрос,  - студент ответил на второй вопрос,  - студент не ответил на второй вопрос.

     Очевидно, что , причем события  и  являются несовместными. Следовательно,

    .

      Задачу можно было решить другим способом:

      Пример 3. Каменщик за смену укладывает 1000 кирпичей. Вероятность того, что он уронит взятый кирпич, равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной смены произойдет падение 5 кирпичей.

     Решение. Искомую вероятность найдем по формуле Пуассона:

      По условию задачи k = 5,  = 1000 = 4, тогда определяем  

     Пример 4. Каждая из трех опор автомобильного моста через реку может быть повреждена во время ледохода. Вероятности повреждения опор независимы и соответственно равны: 0,6, 0,7, и 0,8. Cоставить закон распределения случайной величины Х – числа поврежденных опор. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

     Решение. Дискретная случайная величина Х – число поврежденных опор моста – имеет следующие возможные значения:

      Найдем вероятности этих возможных значений. Для этого рассмотрим следующие события:

      А – первая опора повреждена;

     В – вторая опора повреждена;

     С – третья опора повреждена;

     По условию задачи

    Вероятности противоположных событий соответственно равны:

     

    Учитывая независимость событий А, В и С, получим:

      При этом

     Окончательно, искомый закон распределения имеет вид

    Х

     0

     1

     2

     3

    0,024

    0,188

     0,452

    0,336

    Найдем параметры распределения:

      Пример 5. Дана функция распределения F(X) случайной величины. Найти плотность распределения  Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

    Решение. Для нахождения плотности распределения воспользуемся формулой  Тогда,

     

     Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

    Пример 6. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 6, а среднее квадратическое отклонение равно 2. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (3; 10); б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х от математического ожидания окажется меньше 5.

    Решение. а) Воспользуемся формулой (3.9). В нашем случае, а = 6,  

     

    Значения  и  определены по таблице [4,5].

     б) Воспользуемся формулой (3.10). По условию задачи имеем 

    Математика Примеры решения задач