ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования

     Понятие собственного значения и собственного вектора линейного преобразования играют важную роль и встречаются, например, в динамике и строительной механике.

     Ненулевой вектор  линейного пространства  называется собственным вектором линейного преобразования , если при некотором действительном  справедливо равенство

      (3.1)

     Действительное число  называется собственным значением линейного преобразования

     Если линейное преобразование  задано матрицей

    ,  (3.2)

    а вектор  есть матрица-столбец

    то векторное равенство (3.1) будет иметь вид

      (3.3)

     Это матричное равенство равносильно следующей системе уравнений:

    .  (3.4)

     Перенося члены из правой части в левую и приводя подобные члены, получим однородную систему линейных уравнений

    .  (3.5)

     Система уравнений (3.5) имеет ненулевые решения (собственный вектор по определению не нулевой!), тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. То есть собственными значениями могут быть только те l, которые удовлетворяют уравнению

      (3.6)

     Уравнение (3.6) есть уравнение n-ой степени относительно . Оно называется характеристическим уравнением матрицы A.

    Если уравнение (3.6) не имеет действительных решений, то это значит, что данное линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных векторов. Доказано, что если матрица  – симметрическая (т.е. совпадающая с транспортированной), то все корни характеристического уравнения действительны.

    Подставляя, найденные вещественные корни характеристического уравнения (3.6) в систему (3.5) и решая ее, мы получим собственные векторы, соответствующие выбранному собственному значению.

    Пример. Определить собственные значения и собственные векторы линейного преобразования .

     Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы :

    Раскрывая определитель, получим уравнение  

     Один из корней найдем среди делителей свободного члена, которыми являются числа:

     Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  является корнем, и, значит,

      Приравнивая к нулю второй множитель = 0, найдем еще два корня .

     Найдем теперь собственный вектор, соответствующий  .

    Для этого из диагональных элементов матрицы A вычтем  и по получившейся новой матрице составим систему уравнений вида (3.5), определитель которой равен 0.


    Первое уравнение системы получается из второго умножением на (-3). Отбросив первое уравнение, перенесем  в правую часть. Считая  свободной переменной  приходим к системе

    .

    Решая, получаем 

    Первый собственный вектор  где  Остальные два вектора находятся так же и имеют вид:

    Математика Примеры решения задач