ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Примеры решения задач

Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования

 Понятие собственного значения и собственного вектора линейного преобразования играют важную роль и встречаются, например, в динамике и строительной механике.

 Ненулевой вектор  линейного пространства  называется собственным вектором линейного преобразования , если при некотором действительном  справедливо равенство

  (3.1)

 Действительное число  называется собственным значением линейного преобразования

 Если линейное преобразование  задано матрицей

,  (3.2)

а вектор  есть матрица-столбец

то векторное равенство (3.1) будет иметь вид

  (3.3)

 Это матричное равенство равносильно следующей системе уравнений:

.  (3.4)

 Перенося члены из правой части в левую и приводя подобные члены, получим однородную систему линейных уравнений

.  (3.5)

 Система уравнений (3.5) имеет ненулевые решения (собственный вектор по определению не нулевой!), тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. То есть собственными значениями могут быть только те l, которые удовлетворяют уравнению

  (3.6)

 Уравнение (3.6) есть уравнение n-ой степени относительно . Оно называется характеристическим уравнением матрицы A.

Если уравнение (3.6) не имеет действительных решений, то это значит, что данное линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных векторов. Доказано, что если матрица  – симметрическая (т.е. совпадающая с транспортированной), то все корни характеристического уравнения действительны.

Подставляя, найденные вещественные корни характеристического уравнения (3.6) в систему (3.5) и решая ее, мы получим собственные векторы, соответствующие выбранному собственному значению.

Пример. Определить собственные значения и собственные векторы линейного преобразования .

 Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы :

Раскрывая определитель, получим уравнение  

 Один из корней найдем среди делителей свободного члена, которыми являются числа:

 Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  является корнем, и, значит,

  Приравнивая к нулю второй множитель = 0, найдем еще два корня .

 Найдем теперь собственный вектор, соответствующий  .

Для этого из диагональных элементов матрицы A вычтем  и по получившейся новой матрице составим систему уравнений вида (3.5), определитель которой равен 0.


Первое уравнение системы получается из второго умножением на (-3). Отбросив первое уравнение, перенесем  в правую часть. Считая  свободной переменной  приходим к системе

.

Решая, получаем 

Первый собственный вектор  где  Остальные два вектора находятся так же и имеют вид:

Математика Примеры решения задач