ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Примеры решения задач

Понятие линейного пространства и базиса

 Линейным пространством называется любое множество E, для элементов которого a,b,c,x,y,z,… определены понятия (действия) суммы элементов x+y, разности элементов y-z и умножения элементов на числа a x. При этом действия сложения, вычитания и умножения на числа должны обладать всеми привычными свойствами этих действий, справедливыми для множества обычных чисел или множества обычных векторов на плоскости или в пространстве.

 Примерами линейных пространств являются множество вещественных чисел R, множества L2 и L3 векторов на плоскости и в пространстве, множество M(m,n) матриц одного размера, множество непрерывных на отрезке [a,b] функций C[a,b]. Ясно, что действия сложения, вычитания и умножения на числа в каждом множестве свои, но все они обладают некоторыми общими свойствами: 1) операции над элементами множества не выводят за пределы этого множества; 2) эти действия обладают известным набором свойств, справедливых для всех линейных пространств. К этим свойствам относятся, например, ассоциативность a+(b-c)=(a+b)-c, коммутативность a+b-c = b-c+a =

-c+b+a, дистрибутивность относительно умножения (a+b)(x+y-z)= ax+ay-az+ bx+by-bz, существование нулевого элемента О множества, от прибавления или вычитания которого ничего не меняется, существование обратного элемента –a такого, что –a+a=O, и еще несколько простых и хорошо всем знакомых свойств, которые привычны для чисел и векторов: (-1)a = - a, 0b=O,

1x=x…

 Из определения линейного пространства ясно, что, имея несколько элементов x1, x2 , … xK , и несколько чисел c1 , c2 , … cK мы можем выполнить следующие действияc1x1 + c2x2 + … +cK xK , в результате которых получится некоторый элемент x того же пространства. Принято называть элемент x = c1x1 + c2x2 + … +cK xK линейной комбинацией элементов x1, x2 , … xK .

 Базисом линейного пространства E называется такой набор его элементов e1, e2 , … en , что любой элемент x пространства E единственным образом представляется через e1, e2 , … en в виде их линейной комбинации

x =x1 e 1 + x2 e 2 + … + xn e n .

 Числа x1, x2 , … xn , согласно определению базиса, однозначно определяются самим элементом x и базисом e1, e2 , … en . Они называются координатами разложения x по базису или координатами x в базисе e1, e2 , … en .

 Размерностью пространства называется число элементов в базисе.

Базисов в любом линейном пространстве существует бесчисленное множество, но количество элементов в любом базисе одинаково.

  Среди векторов на плоскости базис образуют любые два не параллельных вектора. В пространстве любые три вектора, не параллельные одной плоскости. Размерность пространства матриц M(m,n) равна mn. Размерность пространства C[a,b] бесконечна.

 Базисы играют основную роль в применении линейной алгебры к практическим задачам.

Линейные преобразования

 Отображение A , переводящее элементы одного линейного пространства E в элементы другого линейного пространства F называется линейным преобразованием или линейным оператором, если A переводит линейную комбинацию элементов пространства E в линейную комбинацию их образов в пространстве F . А именно

A ( c1x1 + c2x2 + … +cK xK )= c1 A x1 + c2 A x2 + … +cK A xK .

  Линейные отображения - это самые простые отображения. Задание линейного преобразования только на элементах базиса однозначно определяет его действие на всех элементах пространства.

 Пусть R n=M(n,1) линейное пространство матриц-столбцов вида  и A матрица размера m на n. Тогда произведение AX=Y определено, и представляет собой матрицу столбец из пространства R m. Таким образом, с помощью матрицы A мы определили отображение из R n в R m. Легко проверить, что при этом линейная комбинация столбцов переводится в линейную комбинацию их образов, и, значит, матрица A определяет линейное отображение линейного пространства R n в  линейное пространство R m.

 Показано, что это отображение, заданное матрицей, в определенном смысле описывает все возможные линейные отображения n - мерного пространства E в m - мерное пространство F. Поэтому в дальнейшем, говоря о линейных отображениях, мы нередко будем заменять их связанными с ними матрицами.

  Пусть A и B – произвольные линейные преобразования в линейном пространстве  (то есть переводящие  в ),  – произвольное действительное число, а  – любой вектор (напомним, что элементы любого линейного пространства принято называть векторами).

 Суммой линейных преобразований A и B называется преобразование , определяемое равенством  Обозначается .

 Произведением линейного преобразования A на число  называется преобразование   определяемое равенством   Обозначается:  

 Произведением линейного преобразования A на линейное преобразование B называется преобразование  , определяемое равенством  Обозначается:  

 Преобразования  являются линейными.

 Пример. Дано преобразование  A переводящее вектор  в вектор   по формуле

  (3.1)

и преобразование B, переводящее вектор  в вектор  по формуле 

.  (3.2)

Требуется найти преобразование, выражающее  сразу через .

 Решение. Систему (3.1) можно записать в матричном виде

, (3.3)

а систему (3.2) - записать в виде

. (3.4)

где A, B – матрицы этих систем.

Учитывая (3.2) и (3.3), получим

. (3.5)

То есть для нахождения преобразования, переводящего X в X” надо найти произведение матриц B и A:

.

Это значит, что нужное преобразование имеет вид следующей системы

.

Математика Примеры решения задач