ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Система линейных алгебраических уравнений и матрицы

    Система линейных уравнений имеет вид: 

     (1.1)

    Числа ,  – это коэффициенты системы,  j=1,2,…m – свободные члены системы.

      Если , то система называется однородной, если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система называется неоднородной.

    Решить систему (1.1) – значит найти набор чисел , которые обращают каждое уравнение системы (1.1) в верное числовое тождество.

     Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет нулевое решение x1=0,x2=0,…,xn=0.

      Матрица - это прямоугольная таблица, заполненная числами. Сами числа – это элементы матрицы. Как во всякой таблице, в матрице есть строки и столбцы. Строки нумеруются сверху вниз, а столбцы слева направо. Число строк и столбцов – это размеры матрицы. Эти размеры иногда пишутся внизу справа от матрицы.

     Каждый элемент матрицы стоит на пересечении определенной строки и определенного столбца матрицы. Если элемент стоит на пересечении i – той строки и j – того столбца матрицы, то говорят, что числа i,j - это индексы этого элемента.

     На письме матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, C, а их элементы малыми буквами с индексами – .

    Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов

    при неизвестных:

    .  (1.2)

     Матрица

      (1.3)

    в которой добавлен столбец из свободных членов системы, называется расширенной матрицей системы.

    Если система (1.1) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Ответ на вопрос о совместности системы (1.1) дает теорема Кронекера-Капелли.

    Минором порядка k называется определитель, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении некоторых k строк и k столбцов этой матрицы.

    Рангом матрицы называется размер (порядок) наибольшего отличного от нуля минора матрицы .

     Для того, чтобы система (1.1) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы системы. 

     Диагональю матрицы называется множество ее элементов вида   где m,n – размеры матрицы, а сами элементы  

    называются диагональными.

    Если m=n, то матрица называется квадратной. Таким образом, диагональ квадратной матрицы идет из ее верхнего левого в правый нижний угол.

    Матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на диагонали, равны нулю.

    Матрица называется единичной, если она квадратная, диагональная и

    все ее диагональные элементы равны единице. Единичную матрицу размера

    n на n мы будем обозначать In или I.

    Алгебраические действия над матрицами

    Обозначим через M(m,n) множество всех числовых матриц одинакового размера m´n. Матрицы одного размера можно складывать, вычитать, умножать на числа, в результате чего будут получаться новые матрицы того же размера.

    Суммой A+B двух матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица (aij+bij). То есть, при сложении матриц их элементы, стоящие на одинаковых местах, складываются.

    Разностью A-B двух матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица (aij-bij). То есть, при вычитании матриц их элементы, стоящие на одинаковых местах, вычитаются.

    Произведением матрицы A=(aij) на число a называется матрица

    aA=(a aij). То есть, при умножении матрицы на число, все элементы матрицы умножаются на это число.

    Элементы матриц одного размера, стоящие на одинаковых местах (то есть с одинаковыми индексами) мы будем называть  соответственными. Легко заметить, что выполнение определенных выше арифметических действий над матрицами, на самом деле сводится к выполнению тех же действий над их соответственными элементами. Поэтому эти действия над матрицами обладают теми же свойствами, которыми обладают операции сложения вычитания и умножения чисел. Например

    A+B=B+A, A+B-C=(A+B)-C=A+(B-C), (a+b)(D-E)= aD-aE+ bD - bE,  и так далее.

    В частности, для любых размеров m и n во множестве M(m,n)  существует нулевая матрица O, от прибавления или вычитания которой ничего не меняется. Эта матрица состоит из одних нулей.

    Для ясности проиллюстрируем сказанное на примере матриц из M(2,2). Пусть

    Тогда

    3A+2C-4B= .

    Определим теперь наиболее важное действие над матрицами, которое кардинально отличается от предыдущих, и благодаря которому матрицы играют такую важную роль. А именно, рассмотрим операцию умножения матриц.

    Оказывается, что произведение матриц зависит от порядка сомножителей, то есть от того, какая матрица является первым сомножителем, а какая вторым. При этом умножение выполнимо не всегда, а лишь тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. В этом случае говорят, что размеры матриц согласованы.

    Пусть даны две матрицы A=(aij)mхl и B=(bij)pхn. Тогда, если l=p, то размеры матриц согласованы для произведения AB, а при m=n - для произведения BA.

    Определение. Пусть даны матрицы A=(aij)mхl и B=(bij)lхn . Тогда их произведением AB называется матрица C размера m´n, элементы которой вычисляются по формуле cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ailblj, i=1,2,...,m, j=1,2,..., n.

    Иными словами, для того, чтобы найти элемент произведения матриц, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, надо элементы i-той cтроки первого сомножителя почленно умножить на элементы j-того столбца второго сомножителя и получившиеся произведения сложить.

    На практике сначала заполняют первую строку матрицы C=AB, для чего умножают первую строку первого сомножителя последовательно на все столбцы второго сомножителя. Затем заполняют вторую строку матрицы C, последовательно умножая вторую строку первого сомножителя на все столбцы второго и так далее.

    Пример. Пусть .

    Тогда .

    В то же время

      .

    То есть AB¹BA.

    Для операции умножения матриц справедливы свойства (предполагается, что размеры сомножителей согласованы):

     A(BC)=(AB)C - свойство ассоциативности;

    A(aB +bC - gD)= aAB + bAC  - gAD - свойство дистрибутивности;

    существует квадратная матрица I такая, что AI=A, IB=B для любых матриц A и B, для которых определены (существуют) произведения AI и IB.

    Такая матрица I выполняет роль единицы и называется единичной матрицей. Единичная - это знакомая нам квадратная матрица In размера n´n, по диагонали у которой стоят единицы, а остальные элементы нули.

    Матричные уравнения и обратная матрица

    Матрицы A и B равны, если их размеры совпадают, а числа (элементы), стоящие на одинаковых местах равны.

    Пусть нам известны матрицы Am´n, Bm´k и Cl´n. Тогда имеет смысл задать следующий вопрос: существуют ли такие матрицы X и Y, которые удовлетворяют следующим матричным уравнениям AX=B и YA=C, и, если существуют, то как их можно найти?

    Не обсуждая написанные уравнения в общем виде, попробуем для данной квадратной матрицы A решить вопрос о существовании так называемой обратной матрицы A-1.

    Определение. Обратной для матрицы A размера n´n называется матрица A-1 того же размера, которая удовлетворяет двум условиям

    AA-1=A-1A=I, (**)

    где I единичная матрица.

    Если обратная матрица для A из формулы (**) существует, то найти

    неизвестные матрицы X и Y можно очень просто. Действительно, умножим обе части уравнения AX=B слева на A-1. Тогда получим A-1AX=A-1B. Но, согласно (**), A-1A=I и, по основному свойству единичной матрицы, I A-1AX=IX=X.

    То есть X=A-1B есть решение уравнения AX=B.

    Аналогично, умножая справа обе части уравнения YA=C на A-1 получаем его решение в виде Y=CA-1.

    Для окончательного решения вопроса об обратной матрице нам понадобится одно очень интересное свойство определителя, которое мы примем без доказательства.

    Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

    Теперь мы готовы сформулировать следующую теорему и построить обратную матрицу.

    Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную A-1 тогда и только тогда, когда определитель матрицы A не равен нулю. При этом обратная матрица находится по следующей формуле

      (2.1)

    где  – алгебраические дополнения . Здесь  – минор элемента , который получается из основного определителя вычеркиванием i – той строки и j – того столбца, на пересечении которых стоит элемент .

    Таким образом, первый столбец написанной матрицы составлен из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы A, второй столбец составлен из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы A, и так далее. Наконец, последний столбец составлен из алгебраических дополнений элементов последней строки матрицы A.

    В заключение отметим, что квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной или сингулярной. Таким образом обратная матрица существует только для невырожденной матрицы.

    Матричная запись системы уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы

    Пусть нам дана система уравнений вида (1.1), матрица которой равна

    , а столбец свободных членов системы .

    Введем матрицу столбец

      , неизвестные элементы которой надо подобрать так, чтобы выполнялось матричное равенство AX=B.

    Выясним, какие требования накладывает это матричное уравнение на выбор неизвестных x1, x2, ..., xn. Для этого распишем подробно его левую и правую части.

     

    По определению матрицы равны тогда и только тогда, когда их элементы, стоящие на одинаковых местах равны. Это показывает, что для отыскания неизвестных элементов матрицы X надо решить ту же систему (1.1) m– уравнений с n– неизвестными. Таким образом, решение системы равносильно решению матричного уравнения AX=B. Говорят, что уравнение AX=B есть матричная запись системы уравнений (1.1).

    В случае m=n запись системы в матричном виде позволяет предложить новый метод ее решения с помощью обратной матрицы. А именно, матрицу-столбец, составленный из неизвестных системы можно найти по формуле

    X=A-1B.

    При этом, чтобы воспользоваться этой формулой надо предварительно найти обратную матрицу A-1.

     Пример. Решим систему линейных уравнений матричным способом

      .

    Найдем главный определитель системы:

      Следовательно,  Система имеет единственное решение. Найдем это решение матричным способом. Для этого сначала найдем матрицу A-1, если:

      Находим :

     

     

     

    Тогда, используя (2.1), запишем выражение для обратной матрицы

    .

    Найдем произведение

    .

    Следовательно, 

    Математика Примеры решения задач