Ряды Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Признаки сходимости знакопеременных рядов

    Доказано, что если ряд

     , (2.1)

    составленный из абсолютных величин членов ряда (1.1), сходится, то ряд (1.1) также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1.1) сходится, а ряд (2.1) расходится, то ряд (1.1) называется условно (не абсолютно) сходящимся.

     При исследовании на абсолютную сходимость ряда (1.1) можно использовать для ряда (2.1) все известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В частности, ряд (1.1) сходится абсолютно, если 

       или 

     В общем случае из расходимости ряда (2.1) не следует расходимость ряда (1.1). Однако, если справедливы неравенства

      или

    то расходится не только ряд (2.1), но и ряд (1.1).

    Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда

      (2.2)

    выполнены условия: 1) 2), то ряд (2.2) сходится.

    Для остатка ряда  в этом случае справедлива оценка 

    Пример 1. Исследовать сходимость ряда

    Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

     

    Так как по радикальному признаку Коши

    то этот ряд сходится, а, значит, исходный ряд сходится абсолютно

    Пример 2. Ряд

    сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Но этот ряд сходится не абсолютно, а условно, так как ряд

    расходится  (это гармонический ряд).

    3. Степенные ряды

    Функциональный ряд вида 

     (3.1)

    где  – действительные числа, называется степенным.

      Основным свойством степенных рядов является следующее: если степенной ряд сходится при , то он будет сходиться (причем абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству

      (теорема Абеля).

    Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости с центром, в точке  или , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится, и вне которого ряд расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) сходимость надо проверять отдельно для каждого конкретного ряда.

    Число R , равное половине длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при х=а, если же , то ряд сходится на всей числовой оси.

    Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

    Если среди коэффициентов  нет равных нулю, т.е. ряд

    содержит все целые положительные степени разности х-а, то

        (3.2)

    если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

    Если исходный ряд имеет вид

    где р – некоторое определенное целое положительное число, то

      (3.3)

    Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и

    последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности (х-а) любая (т.е. не образует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле

      (3.4)

    в которой используются только те значения , которые отличны от нуля. (Эта формула пригодна и в случаях 1 и 2).

     4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

    Пример 1. Найдем интервал сходимости степенного ряда

    Здесь   Найдем радиус сходимости ряда:

    Следовательно, по теореме Абеля ряд абсолютно сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству -1< x < 1. Исследуем сходимость ряда на границах промежутка.

     Если х =1, то получаем гармонический ряд  который, как известно, расходится.

      Если х = - 1, то получаем ряд . Этот ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (2.2)

     Таким образом, область сходимости степенного ряда определяется неравенством  

    Математика Примеры решения задач