Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Контрольная работа по математике

    Вычислить неопределённые интегралы:

    а) ; б) .

    Решение:

    а)

    б) .


    № 6

    Найти все частные производные первого и второго порядка для функции двух переменных:

    .

    Решение:


    № 7

    Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений этого уравнения:

    .

    Решение:

    Частные решения: . Строим графики:


    № 8

    Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному условию:

    , .

    Решение:

    Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением. Решение будем искать в виде произведения:

    .

    Тогда

    .

    Подставим в исходное уравнение, получим:

    Функцию  выберем так, чтобы выполнялось равенство

      (*)

    Тогда для функции  получим уравнение:

      (**)

    Решим уравнение (*):

    Возьмем С=1, так как достаточно найти единственное решение (*). Решим уравнение (**):

    Итак,

    .

    Решим задачу Коши, подставив начальное условие :

    Ответ: .


    № 9

    Исследовать ряд на сходимость:

    Решение:

    Применим признак Даламбера:

    , следовательно, данный ряд сходится.

    № 10

    Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

    .

    Решение:

    Найдем радиус сходимости:

    Итак,  и ряд сходится при .

    Исследуем сходимость на концах интервала:

    , получим числовой ряд  (ни один из наиболее часто употребляемых признаков не дает никакого ответа о сходимости данного числового ряда).

    По признаку Коши:

    , ряд сходится.

    , получим числовой ряд  – сходится по признаку Лейбница, так как   монотонно убывает к 0.

    Следовательно, интервал сходимости исходного ряда будет .

    Математика Примеры решения задач