Введение в математический анализ

Контрольная работа по математике

Вычислить неопределённые интегралы:

а) ; б) .

Решение:

а)

б) .


№ 6

Найти все частные производные первого и второго порядка для функции двух переменных:

.

Решение:


№ 7

Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений этого уравнения:

.

Решение:

Частные решения: . Строим графики:


№ 8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному условию:

, .

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением. Решение будем искать в виде произведения:

.

Тогда

.

Подставим в исходное уравнение, получим:

Функцию  выберем так, чтобы выполнялось равенство

  (*)

Тогда для функции  получим уравнение:

  (**)

Решим уравнение (*):

Возьмем С=1, так как достаточно найти единственное решение (*). Решим уравнение (**):

Итак,

.

Решим задачу Коши, подставив начальное условие :

Ответ: .


№ 9

Исследовать ряд на сходимость:

Решение:

Применим признак Даламбера:

, следовательно, данный ряд сходится.

№ 10

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

.

Решение:

Найдем радиус сходимости:

Итак,  и ряд сходится при .

Исследуем сходимость на концах интервала:

, получим числовой ряд  (ни один из наиболее часто употребляемых признаков не дает никакого ответа о сходимости данного числового ряда).

По признаку Коши:

, ряд сходится.

, получим числовой ряд  – сходится по признаку Лейбница, так как   монотонно убывает к 0.

Следовательно, интервал сходимости исходного ряда будет .

Математика Примеры решения задач