Введение в математический анализ

Контрольная работа по математике

№ 1

Задача межотраслевого баланса. Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции.

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

I

II

III

Производство

I

80

40

160

240

II

100

275

40

85

III

120

250

60

300

Задание:

I.

1. Восстановить таблицу межотраслевого баланса.

2. Найти матрицу прямых затрат и проверить ее на продуктивность.

3. Найти матрицу полных затрат.

4. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен остаться на прежнем уровне, во второй увеличиться на 100×n%, а в третьей – на 100×m%. Используя вычисленный валовой выпуск, и, зная новый конечный продукт, восстановить модель задачи (указание: следует вычислить значения технологической матрицы) в виде таблицы.

II. Найти новую технологическую матрицу и вектор конечного продукта при условии, что валовой выпуск увеличиться вдвое.

Решение:

І.

Для межотраслевого баланса сумма потребления по отрасли и конечного продукта по этой же отрасли должна быть равна валовому выпуску:

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

І

ІІ

ІІІ

Производство

І

80

40

160

240

540

ІІ

100

275

40

85

650

ІІІ

120

250

60

300

560

Найдем матрицу прямых затрат:

Все элементы матрицы положительны. По второму критерию продуктивности данная матрица является продуктивной, поскольку суммы по столбцам строго меньше 1 (0,516; 0,944; 0,465).

Найдем матрицу полных затрат В:

Вычислим необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен остаться на прежнем уровне, во второй увеличиться на 400%, а в третьей на 900%:

Модель задачи:

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

І

ІІ

ІІІ

Производство

І

80

40

160

240

540

ІІ

100

275

40

425

990

ІІІ

120

250

60

3000

3260

ІІ. Найдем новую технологическую матрицу и вектор конечного продукта при условии, что валовой выпуск увеличится вдвое.

Конечный продукт равен разности валового выпуска и суммарного потребления данной отрасли. Тогда

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

І

ІІ

ІІІ

Производство

І

80

40

160

780

1080

ІІ

100

275

40

735

1300

ІІІ

120

250

60

860

1120

Найдем новую технологическую матрицу:


№ 2

Вычислить предел функции:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а)

б)  (применили следствие из второго замечательного предела);

в) .


№ 3

Вычислить предельный средний доход при количестве выпущенного продукта х=80 (ед.), если функция среднего дохода задана в виде: f(x)=2× (в ден.ед.).

Решение:

Предельный средний доход найдем как производную среднего дохода:


№ 4

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение:

Найдем область определения функции: , область значений:

Функция не является ни четной, ни нечетной функцией, так как .

Находим точки пересечения графика функции с осями координат: с осями координат график пересекается, если.

Найдем наклонные асимптоты:

, .

,

Итак, ­ — наклонная асимптота.

х=0 – точка разрыва.

Интервалы монотонности функции и экстремумы.

Находим критические функции:

.

1

+

0

+

у

0

 

минимум

Интервалы вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.

Дальнейшее решение оформим в виде таблицы:

1,5

+

+

0

-

0,111

перегиб

Строим график:

Математика Примеры решения задач