Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Контрольная работа по математике

    № 1

    Задача межотраслевого баланса. Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции.

    Отрасль

    Потребление

    Конечный продукт

    Валовой выпуск

    I

    II

    III

    Производство

    I

    80

    40

    160

    240

    II

    100

    275

    40

    85

    III

    120

    250

    60

    300

    Задание:

    I.

    1. Восстановить таблицу межотраслевого баланса.

    2. Найти матрицу прямых затрат и проверить ее на продуктивность.

    3. Найти матрицу полных затрат.

    4. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен остаться на прежнем уровне, во второй увеличиться на 100×n%, а в третьей – на 100×m%. Используя вычисленный валовой выпуск, и, зная новый конечный продукт, восстановить модель задачи (указание: следует вычислить значения технологической матрицы) в виде таблицы.

    II. Найти новую технологическую матрицу и вектор конечного продукта при условии, что валовой выпуск увеличиться вдвое.

    Решение:

    І.

    Для межотраслевого баланса сумма потребления по отрасли и конечного продукта по этой же отрасли должна быть равна валовому выпуску:

    Отрасль

    Потребление

    Конечный продукт

    Валовой выпуск

    І

    ІІ

    ІІІ

    Производство

    І

    80

    40

    160

    240

    540

    ІІ

    100

    275

    40

    85

    650

    ІІІ

    120

    250

    60

    300

    560

    Найдем матрицу прямых затрат:

    Все элементы матрицы положительны. По второму критерию продуктивности данная матрица является продуктивной, поскольку суммы по столбцам строго меньше 1 (0,516; 0,944; 0,465).

    Найдем матрицу полных затрат В:

    Вычислим необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен остаться на прежнем уровне, во второй увеличиться на 400%, а в третьей на 900%:

    Модель задачи:

    Отрасль

    Потребление

    Конечный продукт

    Валовой выпуск

    І

    ІІ

    ІІІ

    Производство

    І

    80

    40

    160

    240

    540

    ІІ

    100

    275

    40

    425

    990

    ІІІ

    120

    250

    60

    3000

    3260

    ІІ. Найдем новую технологическую матрицу и вектор конечного продукта при условии, что валовой выпуск увеличится вдвое.

    Конечный продукт равен разности валового выпуска и суммарного потребления данной отрасли. Тогда

    Отрасль

    Потребление

    Конечный продукт

    Валовой выпуск

    І

    ІІ

    ІІІ

    Производство

    І

    80

    40

    160

    780

    1080

    ІІ

    100

    275

    40

    735

    1300

    ІІІ

    120

    250

    60

    860

    1120

    Найдем новую технологическую матрицу:


    № 2

    Вычислить предел функции:

    а) ; б) ; в) .

    Решение:

    а)

    б)  (применили следствие из второго замечательного предела);

    в) .


    № 3

    Вычислить предельный средний доход при количестве выпущенного продукта х=80 (ед.), если функция среднего дохода задана в виде: f(x)=2× (в ден.ед.).

    Решение:

    Предельный средний доход найдем как производную среднего дохода:


    № 4

    Исследовать функцию  и построить ее график.

    Решение:

    Найдем область определения функции: , область значений:

    Функция не является ни четной, ни нечетной функцией, так как .

    Находим точки пересечения графика функции с осями координат: с осями координат график пересекается, если.

    Найдем наклонные асимптоты:

    , .

    ,

    Итак, ­ — наклонная асимптота.

    х=0 – точка разрыва.

    Интервалы монотонности функции и экстремумы.

    Находим критические функции:

    .

    1

    +

    0

    +

    у

    0

     

    минимум

    Интервалы вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.

    Дальнейшее решение оформим в виде таблицы:

    1,5

    +

    +

    0

    -

    0,111

    перегиб

    Строим график:

    Математика Примеры решения задач