Ряды Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Числовые ряды

     Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел

     (1.1)

     Числа  называются членами ряда, член  с произвольным номером – общим членом ряда.

     Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичные сумм , n=1,2,…, имеет конечный предел при  Величина  называется при этом суммой ряда, а число  – остатком ряда. Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

    Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд  сходится,

    то его общий член стремится к нулю, т.е. .

     Отсюда вытекает признак расходимости: если an не стремится к нулю, то ряд (1,1) расходится.

     Условие  является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд, тем не менее, может быть расходящимся.

    1. Признаки ходимости знакоположительных рядов

    Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

     Признак сравнения. Пусть даны два ряда  и  с неотрицательными членами. Если для всех n  выполняется неравенство , то из сходимости большего ряда  следует сходимость меньшего ряда , а из расходимости меньшего ряда  следует расходимость большего ряда  

     В качестве рядов для сравнения удобно брать геометрическую прогрессию,  которая сходится при <1 и расходится при , и гармонический ряд , который является расходящимся.

      Пример 1. Ряд  сходится, т.к.

    <, а геометрическая прогрессия   знаменатель которой , сходится.

      Пример 2. Ряд  расходится. Так как его общий член  больше соответствующего члена   расходящегося гармонического ряда.

     Предельный признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды  и  сходятся или расходятся одновременно.

     Пример 3.  Ряд  расходится, так как

    и гармонический ряд с общим членом  расходится.

     Пример 4. Ряд  сходится, так как 

    а ряд с общим членом  сходится.

     Признак Даламбера. Пусть дан ряд  с положительными членами, и существует предел   Тогда при q < 1 – ряд сходится; при q > 1 – ряд расходится; при q = 1 – признак не работает, необходимо дополнительное исследование.

     Пример 5. Исследовать сходимость ряда

      Решение. Здесь  и

    q=

    Следовательно, данный ряд сходится.

     Признак Коши (радикальный). Пусть  (начиная с некоторого n)

    и существует предел

    Тогда ряд   сходится, если q < 1, расходится, если q > 1. В случае, когда q=1 – признак не работает, необходимо дополнительное исследование.

     Интегральный признак Коши. Пусть  n=N, N+1,N+2,… где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна на [N, ∞).

    Тогда ряд  и интеграл  сходятся или расходятся одновременно.

     С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле

      (1.2)

    сходится, если p > 1, и расходится, если p ≤ 1. Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи их сравнения с соответствующим рядом Дирихле (1.2).

     Пример 6. Исследовать сходимость ряда

      Решение. Имеем:

    Так как ряд Дирихле при p=2 сходится, то на основании признака сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится.

    Математика Примеры решения задач