Ряды Примеры решения задач

Числовые ряды

 Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел

 (1.1)

 Числа  называются членами ряда, член  с произвольным номером – общим членом ряда.

 Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичные сумм , n=1,2,…, имеет конечный предел при  Величина  называется при этом суммой ряда, а число  – остатком ряда. Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд  сходится,

то его общий член стремится к нулю, т.е. .

 Отсюда вытекает признак расходимости: если an не стремится к нулю, то ряд (1,1) расходится.

 Условие  является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд, тем не менее, может быть расходящимся.

1. Признаки ходимости знакоположительных рядов

Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

 Признак сравнения. Пусть даны два ряда  и  с неотрицательными членами. Если для всех n  выполняется неравенство , то из сходимости большего ряда  следует сходимость меньшего ряда , а из расходимости меньшего ряда  следует расходимость большего ряда  

 В качестве рядов для сравнения удобно брать геометрическую прогрессию,  которая сходится при <1 и расходится при , и гармонический ряд , который является расходящимся.

  Пример 1. Ряд  сходится, т.к.

<, а геометрическая прогрессия   знаменатель которой , сходится.

  Пример 2. Ряд  расходится. Так как его общий член  больше соответствующего члена   расходящегося гармонического ряда.

 Предельный признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды  и  сходятся или расходятся одновременно.

 Пример 3.  Ряд  расходится, так как

и гармонический ряд с общим членом  расходится.

 Пример 4. Ряд  сходится, так как 

а ряд с общим членом  сходится.

 Признак Даламбера. Пусть дан ряд  с положительными членами, и существует предел   Тогда при q < 1 – ряд сходится; при q > 1 – ряд расходится; при q = 1 – признак не работает, необходимо дополнительное исследование.

 Пример 5. Исследовать сходимость ряда

  Решение. Здесь  и

q=

Следовательно, данный ряд сходится.

 Признак Коши (радикальный). Пусть  (начиная с некоторого n)

и существует предел

Тогда ряд   сходится, если q < 1, расходится, если q > 1. В случае, когда q=1 – признак не работает, необходимо дополнительное исследование.

 Интегральный признак Коши. Пусть  n=N, N+1,N+2,… где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна на [N, ∞).

Тогда ряд  и интеграл  сходятся или расходятся одновременно.

 С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле

  (1.2)

сходится, если p > 1, и расходится, если p ≤ 1. Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи их сравнения с соответствующим рядом Дирихле (1.2).

 Пример 6. Исследовать сходимость ряда

  Решение. Имеем:

Так как ряд Дирихле при p=2 сходится, то на основании признака сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится.

Математика Примеры решения задач