Введение в математический анализ

Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье 

Рассмотрим движение струны, т.е. гибкой материальной нити с линейной плотностью ,  с закрепленными концами при  и . Считаем, что натяжение струны  постоянно. Обозначим отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени  через .

Тогда уравнение малых свободных колебаний струны, как было показано выше, имеет вид

  (48) 

где  – постоянная, имеющая размерность скорости.

 Разыскиваем  решение следующей задачи: при  найти функцию , являющуюся решением уравнения (48), удовлетворяющую граничным условиям

  (49)

и начальным условиям

  (50)

где функции  и  удовлетворяют определенным условиям гладкости, по крайней мере одна из них отлична от нуля, . Из последнего требования следует, что тривиальное решение  не удовлетворяет условиям (50).

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (48) в виде

  (51)

Подстановка (51) в (48) приводит к соотношению

  (52)

где  – постоянная разделения. Такой вид постоянной вытекает из анализа задачи Штурма - Лиувилля в случае уравнения теплопроводности. В рассматриваемом здесь случае краевая задача для функции  (смотри ниже) совпадает с рассмотренной в п. 3, а значит собственные значения  краевых задач должны быть одинаковыми.

Далее, из вида решения (51) и краевых условий (49) следует . Из соотношения (52) получаем дифференциальное  уравнение для временной части

  (53)

и задачу Штурма - Лиувилля для функции

 . (54)

Общее решение уравнения (54) имеет вид

  . (55)

Из граничных условий имеем

.

Последнее равенство позволяет найти собственные числа задачи

 . (56)

Этим собственным числом соответствуют собственные функции

 , (57)

где  – произвольные постоянные. При каждом  решением уравнениям (53) будет функция

 (58)

 Таким образом, произведение функций (57) и (58), в соответствии с (51), является решением уравнения (48), удовлетворяющим граничным условиям (49). Получим счетное число решений уравнения (48), удовлетворяющих условиям (49). В силу линейности уравнения (48) сумма этих решений, т.е. формально записанный ряд

  (59)

при условии возможности его двукратного дифференцирования по  и , также будет решением уравнения (48), удовлетворяющим условиям (49). Для того, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям (50), потребуем

  (60)

  . (61)

Из (60) и (61) следует, что числа  и  должны быть коэффициентами Фурье соответственно функций  и  по ортогональной на отрезке  системе функций . Следовательно, имеем 

  (62)

где . Таким образом, функция (59) с коэффициентами ряда в форме (62) дает решение поставленной задачи о свободных колебаниях закрепленной на концах струны.

Математика Примеры решения задач