Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье 

    Рассмотрим движение струны, т.е. гибкой материальной нити с линейной плотностью ,  с закрепленными концами при  и . Считаем, что натяжение струны  постоянно. Обозначим отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени  через .

    Тогда уравнение малых свободных колебаний струны, как было показано выше, имеет вид

      (48) 

    где  – постоянная, имеющая размерность скорости.

     Разыскиваем  решение следующей задачи: при  найти функцию , являющуюся решением уравнения (48), удовлетворяющую граничным условиям

      (49)

    и начальным условиям

      (50)

    где функции  и  удовлетворяют определенным условиям гладкости, по крайней мере одна из них отлична от нуля, . Из последнего требования следует, что тривиальное решение  не удовлетворяет условиям (50).

    Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (48) в виде

      (51)

    Подстановка (51) в (48) приводит к соотношению

      (52)

    где  – постоянная разделения. Такой вид постоянной вытекает из анализа задачи Штурма - Лиувилля в случае уравнения теплопроводности. В рассматриваемом здесь случае краевая задача для функции  (смотри ниже) совпадает с рассмотренной в п. 3, а значит собственные значения  краевых задач должны быть одинаковыми.

    Далее, из вида решения (51) и краевых условий (49) следует . Из соотношения (52) получаем дифференциальное  уравнение для временной части

      (53)

    и задачу Штурма - Лиувилля для функции

     . (54)

    Общее решение уравнения (54) имеет вид

      . (55)

    Из граничных условий имеем

    .

    Последнее равенство позволяет найти собственные числа задачи

     . (56)

    Этим собственным числом соответствуют собственные функции

     , (57)

    где  – произвольные постоянные. При каждом  решением уравнениям (53) будет функция

     (58)

     Таким образом, произведение функций (57) и (58), в соответствии с (51), является решением уравнения (48), удовлетворяющим граничным условиям (49). Получим счетное число решений уравнения (48), удовлетворяющих условиям (49). В силу линейности уравнения (48) сумма этих решений, т.е. формально записанный ряд

      (59)

    при условии возможности его двукратного дифференцирования по  и , также будет решением уравнения (48), удовлетворяющим условиям (49). Для того, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям (50), потребуем

      (60)

      . (61)

    Из (60) и (61) следует, что числа  и  должны быть коэффициентами Фурье соответственно функций  и  по ортогональной на отрезке  системе функций . Следовательно, имеем 

      (62)

    где . Таким образом, функция (59) с коэффициентами ряда в форме (62) дает решение поставленной задачи о свободных колебаниях закрепленной на концах струны.

    Математика Примеры решения задач