Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера

    Рассматривая решения обыкновенных дифференциальных уравнений в курсе высшей математики, мы видели, что общее решение содержало произвольные постоянные. Например, общее решение дифференциального уравнения

    имеет  вид

    ,

    где , произвольные константы, которые могут принимать любые значения из интервала (-∞, + ∞) или даже комплексные значения.

    В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение дифференциального уравнения с частными производными, как увидим ниже, содержит уже не произвольные  постоянные, а произвольную функцию.

    Рассмотрим решение одномерного волнового уравнения, описывающего свободные колебания однородной струны

     , (31)

    где  – сила натяжения, действующая на струну,  – постоянная линейная плотность струны,  – постоянная с размерностью скорости,  .

    Запишем уравнение (31) в виде

      (32)

    и введем новую функцию

      . (33)

    Уравнения (32) и (33) образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, эквивалентную уравнению (31):

     (34)

    Первое из этих уравнений является неоднородным дифференциальным уравнением. Второе уравнение, получаемое из уравнения (32) с помощью замены (33), является однородным уравнением (”без правой части”). Для решения системы уравнений (34) нужно решить сначала второе уравнение, а затем – первое, подставив в правую часть найденную функцию .

    Разыскиваем решение второго уравнения системы (34) в виде , где  – произвольная функция, имеющая производную по аргументу . Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

    где штрих означает производную по аргументу. Подставляя полученные выражения для частных производных во второе уравнение системы (34), убеждаемся, что функция  является его решением 

    .

    Таким образом, доказано, что произвольная дифференцируемая функция   является решением этого уравнения.

    Для решения первого уравнения системы (34) удобно вместо функции ввести другую функцию с помощью соотношения

     . (35)

    В соответствии с этой заменой первое уравнение системы (34) запишется в виде

     . (36)

    Преобразуем теперь уравнение (36) так, чтобы оно стало однородным дифференциальным уравнением для новой неизвестной функции, введенной вместо функции . Для этого заметим, что производные функции   по временной и пространственной переменным имеют вид:

      Поэтому уравнение (36) можно записать в виде

    или, объединяя члены с производными по одинаковым переменным,

      (37)

    Здесь новая неизвестная функция выражается через старую и введенную соотношением (35) функцию следующим образом

    .  (38)

    Уравнение (37) имеет такой же вид, как и второе уравнение системы (34), но с заменой постоянной  на (-). Поэтому его решением является произвольная дифференцируемая функция .

    Теперь из соотношения (38) можно получить общее решение первого уравнения системы (34)

    ,  (39)

    где  и – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

    Поскольку первое уравнение системы (34) является уравнением (32), равносильным уравнению (31), то заключаем, что формула (39) дает общее решение волнового уравнения в одномерном случае.

    Формула (39) называется решением Даламбера одномерного волнового уравнения. Она была получена Даламбером в 1747 году.

    Физический  смысл решения Даламбера

    Рассмотрим сначала решения уравнения вида . Пусть наблюдатель выходит в начальный момент  из точки  и передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью . Пройденный наблюдателем путь за время t равен   или . Для этого наблюдателя смещение струны  – постоянно. Все время своего движения наблюдатель видит одно и то же смещение струны. Таким образом, функция  описывает распространение смещения струны вдоль положительного направления оси ОХ. Это решение называется прямой волной,   называется фазой прямой волны.

    Аналогично, функция  называется обратной волной,  – фазой обратной волны. Эта функция описывает распространение смещения струны в отрицательном направлении оси ОХ со  скоростью .

    Таким образом, сумма прямой и обратной волн представляет собой общее решение однородного волнового уравнения в одномерном случае. В этом и заключается физическое содержание решения Даламбера (39).

    Отсюда вытекает следующий графический способ построения формы струны в любой момент времени:

    Строим кривые  и  при ;

    Не меняя формы этих линий передвигаем их со скоростью  в разные стороны —  вправо,  влево;

    Для получения графика формы струны в момент времени t строим алгебраические суммы раздвинутых кривых в данный момент времени.

    5. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера

    Задача Коши, называемая также начальной задачей, для одномерного волнового уравнения

       (40)

    ставится так: найти решение уравнения (40), имеющее непрерывные частные производные второго порядка по x и t, удовлетворяющее начальным условиям

      (41)

    (т. е. задана форма струны в начальный момент времени),

    .  (42)

    Для решения задачи (40)-(42) исходим из общего решения волнового уравнения – решения Даламбера (см. предыдущий параграф)

      (43)

    Положим в (43) t = 0, получим

    Найдем производную по t от выражения (43) и положим  

    Собирая вместе это и предыдущее выражения, получим систему уравнений

      (44)

    Умножим первое уравнение системы (44) на a, продифференцируем его по x и сложим со вторым уравнением, а затем вычтем из него второе уравнение. Получим

      (45)

    Интегрируем теперь оба уравнения по отрезку , получим

     (46)

    где  и  – постоянные интегрирования.

    Сложим равенства (46) и учтем, что полученная сумма должна быть равна   в соответствии с первым уравнением в системе (44). Получаем

    .

    Следовательно . Поскольку в формуле (43) аргументы функций равны , то заменим в первом равенстве системы (46) x на x+at, а во втором – x на x-at. Сложим эти выражения

    . (47)

    Формула (47) дает решение задачи Коши для волнового уравнения. Она была получена Эйлером в 1748 г и носит название формулы Даламбера.

    Математика Примеры решения задач