Введение в математический анализ

Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера

Рассматривая решения обыкновенных дифференциальных уравнений в курсе высшей математики, мы видели, что общее решение содержало произвольные постоянные. Например, общее решение дифференциального уравнения

имеет  вид

,

где , произвольные константы, которые могут принимать любые значения из интервала (-∞, + ∞) или даже комплексные значения.

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение дифференциального уравнения с частными производными, как увидим ниже, содержит уже не произвольные  постоянные, а произвольную функцию.

Рассмотрим решение одномерного волнового уравнения, описывающего свободные колебания однородной струны

 , (31)

где  – сила натяжения, действующая на струну,  – постоянная линейная плотность струны,  – постоянная с размерностью скорости,  .

Запишем уравнение (31) в виде

  (32)

и введем новую функцию

  . (33)

Уравнения (32) и (33) образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, эквивалентную уравнению (31):

 (34)

Первое из этих уравнений является неоднородным дифференциальным уравнением. Второе уравнение, получаемое из уравнения (32) с помощью замены (33), является однородным уравнением (”без правой части”). Для решения системы уравнений (34) нужно решить сначала второе уравнение, а затем – первое, подставив в правую часть найденную функцию .

Разыскиваем решение второго уравнения системы (34) в виде , где  – произвольная функция, имеющая производную по аргументу . Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

где штрих означает производную по аргументу. Подставляя полученные выражения для частных производных во второе уравнение системы (34), убеждаемся, что функция  является его решением 

.

Таким образом, доказано, что произвольная дифференцируемая функция   является решением этого уравнения.

Для решения первого уравнения системы (34) удобно вместо функции ввести другую функцию с помощью соотношения

 . (35)

В соответствии с этой заменой первое уравнение системы (34) запишется в виде

 . (36)

Преобразуем теперь уравнение (36) так, чтобы оно стало однородным дифференциальным уравнением для новой неизвестной функции, введенной вместо функции . Для этого заметим, что производные функции   по временной и пространственной переменным имеют вид:

  Поэтому уравнение (36) можно записать в виде

или, объединяя члены с производными по одинаковым переменным,

  (37)

Здесь новая неизвестная функция выражается через старую и введенную соотношением (35) функцию следующим образом

.  (38)

Уравнение (37) имеет такой же вид, как и второе уравнение системы (34), но с заменой постоянной  на (-). Поэтому его решением является произвольная дифференцируемая функция .

Теперь из соотношения (38) можно получить общее решение первого уравнения системы (34)

,  (39)

где  и – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Поскольку первое уравнение системы (34) является уравнением (32), равносильным уравнению (31), то заключаем, что формула (39) дает общее решение волнового уравнения в одномерном случае.

Формула (39) называется решением Даламбера одномерного волнового уравнения. Она была получена Даламбером в 1747 году.

Физический  смысл решения Даламбера

Рассмотрим сначала решения уравнения вида . Пусть наблюдатель выходит в начальный момент  из точки  и передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью . Пройденный наблюдателем путь за время t равен   или . Для этого наблюдателя смещение струны  – постоянно. Все время своего движения наблюдатель видит одно и то же смещение струны. Таким образом, функция  описывает распространение смещения струны вдоль положительного направления оси ОХ. Это решение называется прямой волной,   называется фазой прямой волны.

Аналогично, функция  называется обратной волной,  – фазой обратной волны. Эта функция описывает распространение смещения струны в отрицательном направлении оси ОХ со  скоростью .

Таким образом, сумма прямой и обратной волн представляет собой общее решение однородного волнового уравнения в одномерном случае. В этом и заключается физическое содержание решения Даламбера (39).

Отсюда вытекает следующий графический способ построения формы струны в любой момент времени:

Строим кривые  и  при ;

Не меняя формы этих линий передвигаем их со скоростью  в разные стороны —  вправо,  влево;

Для получения графика формы струны в момент времени t строим алгебраические суммы раздвинутых кривых в данный момент времени.

5. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера

Задача Коши, называемая также начальной задачей, для одномерного волнового уравнения

   (40)

ставится так: найти решение уравнения (40), имеющее непрерывные частные производные второго порядка по x и t, удовлетворяющее начальным условиям

  (41)

(т. е. задана форма струны в начальный момент времени),

.  (42)

Для решения задачи (40)-(42) исходим из общего решения волнового уравнения – решения Даламбера (см. предыдущий параграф)

  (43)

Положим в (43) t = 0, получим

Найдем производную по t от выражения (43) и положим  

Собирая вместе это и предыдущее выражения, получим систему уравнений

  (44)

Умножим первое уравнение системы (44) на a, продифференцируем его по x и сложим со вторым уравнением, а затем вычтем из него второе уравнение. Получим

  (45)

Интегрируем теперь оба уравнения по отрезку , получим

 (46)

где  и  – постоянные интегрирования.

Сложим равенства (46) и учтем, что полученная сумма должна быть равна   в соответствии с первым уравнением в системе (44). Получаем

.

Следовательно . Поскольку в формуле (43) аргументы функций равны , то заменим в первом равенстве системы (46) x на x+at, а во втором – x на x-at. Сложим эти выражения

. (47)

Формула (47) дает решение задачи Коши для волнового уравнения. Она была получена Эйлером в 1748 г и носит название формулы Даламбера.

Математика Примеры решения задач