Введение в математический анализ

Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d – диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну температуру. Это означает, что , где ось  направлена вдоль стержня. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды.

В начальный момент времени  задано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое  функцией . Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня – считаем температуру на его концах равной нулю. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

, (15)

при граничных условиях

 (16)

и при начальном условии

, (17)

где  – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям согласования с требованиями (16) 

Метод разделения переменных, называемый также методом Фурье, заключается в следующем:

1. Ищем частные решения уравнения (15) в виде 

 . (18)

2. Подставляя (18) в (15) получаем уравнение 

.

Разделив обе части полученного уравнения на  из (18), имеем

 . (19)

Постоянная , называемая постоянной разделения, появилась в (19) из следующих соображений: левая часть в (19) зависит только от переменной , правая – только от переменной , и эти части должны быть равны при всех значениях   и . Поэтому оба отношения в (19) равны постоянной. Приравнивая каждое отношение в (19) постоянной, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций  и :

  (20)

 (21)

3. По условию задачи функция  должна удовлетворять краевым условиям вида (16). Из (18) и (16) получаем условия для функции 

.

Таким образом, для функции  получили задачу: требуется найти не равные тождественно нулю решения краевой задачи

  , (20’)

а также числовые значения параметра, при которых существуют ненулевые решения задачи (20), (20’).

Поставленная задача называется задачей Штурма-Лиувилля. Указанные числовые значения  называются собственными значениями (числами) краевой задачи, соответствующие этим  ненулевые решения – собственными функциями.

Найдем собственные числа краевой задачи (20), (20’). Рассмотрим возможности:

   

Пусть . Тогда общим решением уравнения (20) будет являться функция

.

При  и , имеем

 

Следовательно, , поэтому  и начальное условие (17) не будет выполняться.

Пусть . Тогда общее решение уравнения (20) имеет вид

.

При   и , имеем

систему двух однородных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому . И в этом случае условие (17) не удовлетворено.

Рассмотрим случай . В этом случае корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (20), равны , т.е. мнимые числа.

Как известно из курса теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (20) имеет вид

.  (22)

При  получаем . При  имеем

, (23)

где  . Подставляя (23) в (22), получаем

.  (24)

Входящие в формулу (24) функция и постоянная снабжены индексом, поскольку их значения зависят от .

Формула (23) определяет собственные числа, а формула (24) – собственные функции краевой задачи, соответствующие этим собственным числам.

4. Подставляя в уравнение (21) вместо  собственное значение  для определения функции , соответствующей данному собственному значению, получаем уравнение

  (25)

Общее решение уравнения (6.25) имеет вид

  , (26)

где  - произвольные постоянные.

Итак, все функции

  (27)

удовлетворяют уравнению теплопроводности (15) и граничным условиям (16) при любых значениях  и любых постоянных . Но начальному условию (17) функции (27) в общем случае не удовлетворяют.

5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному условию (17). Для этого, учитывая (27), составим ряд

 . (28)

Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (15) и краевым условиям (16).

Предположим, что функция  разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу начального условия, полагая в (28) , получаем

.  (29)

Написанный ряд представляет собой разложение функции  в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты  находятся по формуле

  . (30)

Предполагая, что  непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при  и , получаем, что ряд (29) с коэффициентами (30) равномерно и абсолютно сходится к  (это известно из теории тригонометрических рядов).

Поскольку при  справедливы неравенства

 ,

то ряд (28) при  также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция  (28) непрерывна при  и удовлетворяет начальному и граничному условиям.

Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что функция  удовлетворяет уравнению (15) и имеет непрерывные производные по  и  первого и второго порядков соответственно.

Математика Примеры решения задач