Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне

    Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d – диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну температуру. Это означает, что , где ось  направлена вдоль стержня. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды.

    В начальный момент времени  задано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое  функцией . Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня – считаем температуру на его концах равной нулю. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

    , (15)

    при граничных условиях

     (16)

    и при начальном условии

    , (17)

    где  – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям согласования с требованиями (16) 

    Метод разделения переменных, называемый также методом Фурье, заключается в следующем:

    1. Ищем частные решения уравнения (15) в виде 

     . (18)

    2. Подставляя (18) в (15) получаем уравнение 

    .

    Разделив обе части полученного уравнения на  из (18), имеем

     . (19)

    Постоянная , называемая постоянной разделения, появилась в (19) из следующих соображений: левая часть в (19) зависит только от переменной , правая – только от переменной , и эти части должны быть равны при всех значениях   и . Поэтому оба отношения в (19) равны постоянной. Приравнивая каждое отношение в (19) постоянной, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций  и :

      (20)

     (21)

    3. По условию задачи функция  должна удовлетворять краевым условиям вида (16). Из (18) и (16) получаем условия для функции 

    .

    Таким образом, для функции  получили задачу: требуется найти не равные тождественно нулю решения краевой задачи

      , (20’)

    а также числовые значения параметра, при которых существуют ненулевые решения задачи (20), (20’).

    Поставленная задача называется задачей Штурма-Лиувилля. Указанные числовые значения  называются собственными значениями (числами) краевой задачи, соответствующие этим  ненулевые решения – собственными функциями.

    Найдем собственные числа краевой задачи (20), (20’). Рассмотрим возможности:

       

    Пусть . Тогда общим решением уравнения (20) будет являться функция

    .

    При  и , имеем

     

    Следовательно, , поэтому  и начальное условие (17) не будет выполняться.

    Пусть . Тогда общее решение уравнения (20) имеет вид

    .

    При   и , имеем

    систему двух однородных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому . И в этом случае условие (17) не удовлетворено.

    Рассмотрим случай . В этом случае корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (20), равны , т.е. мнимые числа.

    Как известно из курса теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (20) имеет вид

    .  (22)

    При  получаем . При  имеем

    , (23)

    где  . Подставляя (23) в (22), получаем

    .  (24)

    Входящие в формулу (24) функция и постоянная снабжены индексом, поскольку их значения зависят от .

    Формула (23) определяет собственные числа, а формула (24) – собственные функции краевой задачи, соответствующие этим собственным числам.

    4. Подставляя в уравнение (21) вместо  собственное значение  для определения функции , соответствующей данному собственному значению, получаем уравнение

      (25)

    Общее решение уравнения (6.25) имеет вид

      , (26)

    где  - произвольные постоянные.

    Итак, все функции

      (27)

    удовлетворяют уравнению теплопроводности (15) и граничным условиям (16) при любых значениях  и любых постоянных . Но начальному условию (17) функции (27) в общем случае не удовлетворяют.

    5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному условию (17). Для этого, учитывая (27), составим ряд

     . (28)

    Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (15) и краевым условиям (16).

    Предположим, что функция  разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу начального условия, полагая в (28) , получаем

    .  (29)

    Написанный ряд представляет собой разложение функции  в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты  находятся по формуле

      . (30)

    Предполагая, что  непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при  и , получаем, что ряд (29) с коэффициентами (30) равномерно и абсолютно сходится к  (это известно из теории тригонометрических рядов).

    Поскольку при  справедливы неравенства

     ,

    то ряд (28) при  также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция  (28) непрерывна при  и удовлетворяет начальному и граничному условиям.

    Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что функция  удовлетворяет уравнению (15) и имеет непрерывные производные по  и  первого и второго порядков соответственно.

    Математика Примеры решения задач