Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

    Для решения краевых задач математической физики широко применяется преобразование Фурье. Причина этого заключается в том, что образ Фурье искомой функции часто удовлетворяет более простому уравнению, чем сама искомая функция. При решении краевых задач математической физики преобразование Фурье используется по следующей схеме:

    1. Подвергают преобразованию Фурье обе части уравнения, которому удовлетворяет искомая функция; отсюда получают уравнение для ее Фурье-образа;

    2. Из этого уравнения находят образ Фурье искомого решения первоначального уравнения;

    3. Используя обратное преобразование Фурье находят искомую функцию.

    Рассмотрим распределение температуры в неограниченном в обе стороны прямолинейном стержне в произвольный момент времени , если ее распределение в начальный момент времени  известно. Стержень считаем теплоизолированным от окружающей среды по боковой поверхности и его сечение считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну и ту же температуру.

    Задача заключается в нахождении решения уравнения теплопроводности в бесконечной области по известному начальному условию:

    , (2)

    , (3)

    где  – заданная функция, абсолютно интегрируемая на оси .

    Решаем эту задачу, применяя преобразование Фурье по переменной x. Обозначим через  образ Фурье функции

    .  (4)

    Умножим обе части уравнения (2) на  и проинтегрируем по  от  до , предполагая, что функция  и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при . Интегрируя левую часть, получим

    .  (5)

    Для преобразования правой части уравнения используем интегрирование по частям:

     (6)

    При получении (6) учли, что неинтегральные члены обращаются в нуль, в силу ограниченности функции  и предполагаемого поведения функции :

    .

    Приравнивая (5) и (6), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для образа Фурье искомой функции

    . (7)

    Начальное условие для функции  получим из начального условия (3), выполнив преобразование Фурье

     

     (8)

     .

    Разделяя переменные в уравнении (7), получаем

    .

    Отсюда

    .  (9)

    Определим постоянную С с помощью начального условия (8)

    .

    Подставив это значение С в равенство (9), получим для Фурье-образа искомой функции следующее  выражение

    . (10)

    Теперь осталось перейти к третьему этапу решения задачи - найти саму функцию   по найденному ее образу Фурье (10). Для этого применим к равенству (10) обратное преобразование Фурье, подставив вместо  его явное выражение из (8). Умножив (10) на   и интегрируя по , получаем

    .  (11)

    Подставим в правую часть выражение для экспоненты с мнимым аргументом по формуле Эйлера

    .

    Учитывая, что

    ,

    если  - четная функция, а также равенство ,

    если  - нечетная функция, имеем

    .

    Последний интеграл является известной и часто встречающейся в теории теплопроводности и теории диффузии функцией. Воспользуемся формулой

    .

    Подставив эти результаты в выражение (11), получим решение уравнения (2) при начальном условии (3)

     . (12)

    Полученную формулу называют формулой Пуассона. Функция аргументов   и 

      (13)

    называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (2). Она удовлетворяет уравнению теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности с начальным условием  в виде (12) является сверткой фундаментального решения с начальной функцией.

    Рассмотрим физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности. Выделим малый элемент стержня  вблизи точки  и зададим начальное распределение температуры в виде

    Физически это означает, что в начальный момент времени  этому элементу стержня передали количества тепла  (- линейная плотность материала, - удельная теплоемкость), которое привело к повышению температуры на этом элементе на величину . В последующие моменты времени распределение температуры в стержне определяется формулой (12), которая в данном случае принимает вид

    Если распределять то же самое количество тепла Q на все меньшем участке , то в пределе в точке  стержню сообщается количества тепла Q. Это означает, что в точке  стержня в момент  действует мгновенный точечный источник тепла напряжения Q. От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур

    ,  (14)

    где применена теорема о среднем для определенного интеграла

    , .

    Предел последнего выражения при , а значит , и приводит к выражению (14).

    Таким образом, фундаментальное решение (13) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла напряжения , помещенным в начальный момент времени  в точке  стержня.

    В соответствии с этим можно дать физическое толкование и решению (12). Для того, чтобы придать сечению  стержня температуру  в начальный момент времени, мы должны на малом элементе  около этой точки распределить количество тепла , т. е. поместить в точке  мгновенный точечный источник тепла напряжения . Распределение температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником будет равно

    .

    Общее действие от начальной температуры  во всех точках стержня складывается от этих элементов, что и приводит к формуле (12).

    Математика Примеры решения задач