Введение в математический анализ

Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

Для решения краевых задач математической физики широко применяется преобразование Фурье. Причина этого заключается в том, что образ Фурье искомой функции часто удовлетворяет более простому уравнению, чем сама искомая функция. При решении краевых задач математической физики преобразование Фурье используется по следующей схеме:

1. Подвергают преобразованию Фурье обе части уравнения, которому удовлетворяет искомая функция; отсюда получают уравнение для ее Фурье-образа;

2. Из этого уравнения находят образ Фурье искомого решения первоначального уравнения;

3. Используя обратное преобразование Фурье находят искомую функцию.

Рассмотрим распределение температуры в неограниченном в обе стороны прямолинейном стержне в произвольный момент времени , если ее распределение в начальный момент времени  известно. Стержень считаем теплоизолированным от окружающей среды по боковой поверхности и его сечение считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну и ту же температуру.

Задача заключается в нахождении решения уравнения теплопроводности в бесконечной области по известному начальному условию:

, (2)

, (3)

где  – заданная функция, абсолютно интегрируемая на оси .

Решаем эту задачу, применяя преобразование Фурье по переменной x. Обозначим через  образ Фурье функции

.  (4)

Умножим обе части уравнения (2) на  и проинтегрируем по  от  до , предполагая, что функция  и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при . Интегрируя левую часть, получим

.  (5)

Для преобразования правой части уравнения используем интегрирование по частям:

 (6)

При получении (6) учли, что неинтегральные члены обращаются в нуль, в силу ограниченности функции  и предполагаемого поведения функции :

.

Приравнивая (5) и (6), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для образа Фурье искомой функции

. (7)

Начальное условие для функции  получим из начального условия (3), выполнив преобразование Фурье

 

 (8)

 .

Разделяя переменные в уравнении (7), получаем

.

Отсюда

.  (9)

Определим постоянную С с помощью начального условия (8)

.

Подставив это значение С в равенство (9), получим для Фурье-образа искомой функции следующее  выражение

. (10)

Теперь осталось перейти к третьему этапу решения задачи - найти саму функцию   по найденному ее образу Фурье (10). Для этого применим к равенству (10) обратное преобразование Фурье, подставив вместо  его явное выражение из (8). Умножив (10) на   и интегрируя по , получаем

.  (11)

Подставим в правую часть выражение для экспоненты с мнимым аргументом по формуле Эйлера

.

Учитывая, что

,

если  - четная функция, а также равенство ,

если  - нечетная функция, имеем

.

Последний интеграл является известной и часто встречающейся в теории теплопроводности и теории диффузии функцией. Воспользуемся формулой

.

Подставив эти результаты в выражение (11), получим решение уравнения (2) при начальном условии (3)

 . (12)

Полученную формулу называют формулой Пуассона. Функция аргументов   и 

  (13)

называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (2). Она удовлетворяет уравнению теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности с начальным условием  в виде (12) является сверткой фундаментального решения с начальной функцией.

Рассмотрим физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности. Выделим малый элемент стержня  вблизи точки  и зададим начальное распределение температуры в виде

Физически это означает, что в начальный момент времени  этому элементу стержня передали количества тепла  (- линейная плотность материала, - удельная теплоемкость), которое привело к повышению температуры на этом элементе на величину . В последующие моменты времени распределение температуры в стержне определяется формулой (12), которая в данном случае принимает вид

Если распределять то же самое количество тепла Q на все меньшем участке , то в пределе в точке  стержню сообщается количества тепла Q. Это означает, что в точке  стержня в момент  действует мгновенный точечный источник тепла напряжения Q. От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур

,  (14)

где применена теорема о среднем для определенного интеграла

, .

Предел последнего выражения при , а значит , и приводит к выражению (14).

Таким образом, фундаментальное решение (13) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла напряжения , помещенным в начальный момент времени  в точке  стержня.

В соответствии с этим можно дать физическое толкование и решению (12). Для того, чтобы придать сечению  стержня температуру  в начальный момент времени, мы должны на малом элементе  около этой точки распределить количество тепла , т. е. поместить в точке  мгновенный точечный источник тепла напряжения . Распределение температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником будет равно

.

Общее действие от начальной температуры  во всех точках стержня складывается от этих элементов, что и приводит к формуле (12).

Математика Примеры решения задач