Введение в математический анализ

Пример №5. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности   на отрезке , удовлетворяющее начальному условию , если

Решение.  Применяя для решения уравнения метод разделения переменных и удовлетворяя краевым условиям, в общем случае получим

,

где  - коэффициенты, подлежащие определению из начального условия. Удовлетворяя ему, имеем

откуда видно, что  являются коэффициентами Фурье при разложении функции  в ряд по синусам на интервале , т.е.

Окончательное решение поставленной задачи может быть записано в виде 

.

В нашем случае ,  и поэтому

Следовательно,

.

Пример №6. Найти решение уравнения теплопроводности  для неограниченного стержня , удовлетворяющее начальному условию, если

Решение.  В общем случае решение поставленной задачи Коши может быть найдено в виде интеграла Пуассона

Поскольку в нашем случае на отрезке  функция  равна постоянной , а вне его температура равна 0, то решение примет вид

где  , .

 Данный результат, для упрощения вычислений, можно преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)

.

Для этой функции имеются специальные таблицы, приведенные в Приложении 3. Тогда

В нашем случае

Эта формула дает значение температуры в любой точке стержня x в любой момент времени , если в начальный момент времени  на участке  был произведен мгновенный нагрев стержня до значения 4. Например, , то

Отметим, что рассмотренный подход к решению задачи теплопроводности целесообразен тогда, когда стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на его концах.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕ 

К ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики

Уравнение, связывающее неизвестную функцию , независимые переменные  и частные производные от функции   называется дифференциальным уравнением с частными производными

  (1)

где - заданная функция своих аргументов.

 Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения с частными производными.

 Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции. Например, уравнение

является квазилинейным уравнением второго порядка, - заданные функции.

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно и относительно неизвестной функции, и относительно ее частных производных. Примером линейного уравнения второго порядка является уравнение

где   - заданные функции, - неизвестная функция.

Решением уравнения с частными производными (6.1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

  Например, уравнение

имеет решение , где  - любая дифференцируемая функция.

 Упражнение. Проверьте последнее утверждение. Покажите также, что любая дифференцируемая функция   является решением уравнения

.

Многие задачи математики, физики, различных областей техники приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Удивительно то, что весьма многие задачи из разных отраслей знания приводят к одним и тем же уравнениям.

Из всех известных уравнений с частными производными, наиболее часто встречающимися при описании различных физических явлений и наиболее хорошо изученными математиками, являются уравнения, названные основными уравнениями математической  физики.

Математическая физика – это область феноменологической физики, работающей с идеей непрерывных сред, в противоположность атомистической физики,  выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.

Перечислим основные уравнения математической физики.

Обозначим через  - пространственные декартовы координаты точки, через  - время,   - заданную функцию, - заданную постоянную (имеющую в каждом уравнении свой физический смысл), - неизвестную функцию,  - оператор Лапласа

Тогда основные уравнения математической физики записываются в следующем виде:

Уравнение  Лапласа

.

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля (в котором отсутствуют массы и электрические заряды)

удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного тока и другие явления;

Уравнение  Пуассона

описывает установившееся тепловое состояние однородного и изотропного твердого тела при наличии источников тепла, потенциал электрического поля при наличии зарядов и др.;

Уравнение теплопроводности

описывает процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явление диффузии газов;

Волновое уравнение

описывает распространение упругих, звуковых и электромагнитных волн, а также другие колебательные явления.

Кроме этих классических уравнений известны и другие замечательные уравнения, которые изучались уже в 20-ом столетии и которые имеют первостепенное значение и для науки, и для технических приложений. К таковым относятся:

1.  Уравнение Шредингера

описывает движение субатомных частиц в поле потенциала , где  - комплексная функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в точке

2. Уравнение Синус - Гордона

 

описывает квантовые поля, самоиндуцированную прозрачность идеального диэлектрика при взаимодействии его с электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные поверхности с постоянной отрицательной кривизной, описывает также солитоны – уединенные волны, ведущие себя подобно обычным частицам и т.д.;

3. Уравнение Кортевега - де Фриза

описывает уединенные волны на поверхности жидкости, плазменные волны, слабонелинейные магнитогидродинамические  волны и другие процессы.

4. Уравнение Бюргерса

описывает турбулентное течение, звуковые волны в вязкой среде, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью и другие явления.

Математика Примеры решения задач