Пример №5. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
на отрезке
, удовлетворяющее начальному условию
, если
Решение. Применяя для решения уравнения метод разделения переменных и удовлетворяя краевым условиям, в общем случае получим
,
где
- коэффициенты, подлежащие определению из начального условия. Удовлетворяя ему, имеем
откуда видно, что
в ряд по синусам на интервале
, т.е.
Окончательное решение поставленной задачи может быть записано в виде
.
В нашем случае
,
и поэтому
Следовательно,
.
Пример №6. Найти решение уравнения теплопроводности
для неограниченного стержня
, удовлетворяющее начальному условию, если
Решение. В общем случае решение поставленной задачи Коши может быть найдено в виде интеграла Пуассона
Поскольку в нашем случае на отрезке
функция
, а вне его температура равна 0, то решение примет вид
где
,
,
.
Данный результат, для упрощения вычислений, можно преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)
.
Для этой функции имеются специальные таблицы, приведенные в Приложении 3. Тогда
В нашем случае
Эта формула дает значение температуры в любой точке стержня x в любой момент времени
, если в начальный момент времени
на участке
,
, то
Отметим, что рассмотренный подход к решению задачи теплопроводности целесообразен тогда, когда стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на его концах.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕ
К ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
Уравнение, связывающее неизвестную функцию
, независимые переменные
и частные производные от функции
(1)
где
- заданная функция своих аргументов.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения с частными производными.
Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции. Например, уравнение
является квазилинейным уравнением второго порядка,
- заданные функции.
Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно и относительно неизвестной функции, и относительно ее частных производных. Примером линейного уравнения второго порядка является уравнение
где
- заданные функции,
- неизвестная функция.
Решением уравнения с частными производными (6.1) называется всякая функция
, которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.
Например, уравнение
имеет решение
, где
- любая дифференцируемая функция.
Упражнение. Проверьте последнее утверждение. Покажите также, что любая дифференцируемая функция
является решением уравнения
.
Многие задачи математики, физики, различных областей техники приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Удивительно то, что весьма многие задачи из разных отраслей знания приводят к одним и тем же уравнениям.
Из всех известных уравнений с частными производными, наиболее часто встречающимися при описании различных физических явлений и наиболее хорошо изученными математиками, являются уравнения, названные основными уравнениями математической физики.
Математическая физика – это область феноменологической физики, работающей с идеей непрерывных сред, в противоположность атомистической физики, выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.
Перечислим основные уравнения математической физики.
Обозначим через
- пространственные декартовы координаты точки, через
- заданную функцию,
- заданную постоянную (имеющую в каждом уравнении свой физический смысл),
- неизвестную функцию,
- оператор Лапласа
Тогда основные уравнения математической физики записываются в следующем виде:
Уравнение Лапласа
.
Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля (в котором отсутствуют массы и электрические заряды)
удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного тока и другие явления;
Уравнение Пуассона
описывает установившееся тепловое состояние однородного и изотропного твердого тела при наличии источников тепла, потенциал электрического поля при наличии зарядов и др.;
Уравнение теплопроводности
описывает процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явление диффузии газов;
Волновое уравнение
описывает распространение упругих, звуковых и электромагнитных волн, а также другие колебательные явления.
Кроме этих классических уравнений известны и другие замечательные уравнения, которые изучались уже в 20-ом столетии и которые имеют первостепенное значение и для науки, и для технических приложений. К таковым относятся:
1. Уравнение Шредингера
описывает движение субатомных частиц в поле потенциала
, где
- комплексная функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в точке
2. Уравнение Синус - Гордона
описывает квантовые поля, самоиндуцированную прозрачность идеального диэлектрика при взаимодействии его с электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные поверхности с постоянной отрицательной кривизной, описывает также солитоны – уединенные волны, ведущие себя подобно обычным частицам и т.д.;
3. Уравнение Кортевега - де Фриза
описывает уединенные волны на поверхности жидкости, плазменные волны, слабонелинейные магнитогидродинамические волны и другие процессы.
4. Уравнение Бюргерса
описывает турбулентное течение, звуковые волны в вязкой среде, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью и другие явления.
