Пример №5. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
на отрезке
, удовлетворяющее начальному
условию
, если

Решение.
Применяя для решения уравнения метод разделения переменных и удовлетворяя краевым
условиям, в общем случае получим
,
где
- коэффициенты, подлежащие определению из начального
условия. Удовлетворяя ему, имеем

откуда
видно, что
являются коэффициентами Фурье при разложении функции
в ряд по синусам на интервале
, т.е.

Окончательное
решение поставленной задачи может быть записано в виде
.
В
нашем случае
,
и поэтому


Следовательно,
.
Пример
№6. Найти решение уравнения теплопроводности
для неограниченного стержня
,
удовлетворяющее начальному условию, если

Решение.
В общем случае решение поставленной задачи Коши может быть найдено в виде интеграла
Пуассона

Поскольку
в нашем случае на отрезке
функция
равна постоянной
, а вне его температура равна 0, то решение примет вид

где
,
,
,
.
Данный результат, для упрощения вычислений,
можно преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)
.
Для
этой функции имеются специальные таблицы, приведенные в Приложении 3. Тогда

В
нашем случае

Эта
формула дает значение температуры в любой точке стержня x в любой момент времени
, если в начальный момент времени
на участке
был произведен мгновенный нагрев стержня
до значения 4. Например,
,
, то

Отметим,
что рассмотренный подход к решению задачи теплопроводности целесообразен тогда,
когда стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках в рассматриваемые
моменты времени мало зависит от условий на его концах.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕ
К ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1.
Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической
физики. Уравнения современной математической физики
Уравнение, связывающее
неизвестную функцию
, независимые переменные
и частные производные от функции
называется дифференциальным уравнением с частными производными
(1)
где
- заданная функция своих аргументов.
Порядок старшей
производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения с частными
производными.
Уравнение с частными производными называется квазилинейным,
если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции.
Например, уравнение

является квазилинейным уравнением второго порядка,
- заданные функции.
Уравнение
с частными производными называется линейным, если оно линейно и относительно неизвестной
функции, и относительно ее частных производных. Примером линейного уравнения второго
порядка является уравнение

где
- заданные функции,
- неизвестная функция.
Решением уравнения
с частными производными (6.1) называется всякая функция
,
которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных
производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.
Например, уравнение

имеет
решение
, где
- любая дифференцируемая функция.
Упражнение.
Проверьте последнее утверждение. Покажите также, что любая дифференцируемая функция
является решением уравнения
.
Многие
задачи математики, физики, различных областей техники приводят к исследованию
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Удивительно
то, что весьма многие задачи из разных отраслей знания приводят к одним и тем
же уравнениям.
Из всех известных уравнений с частными производными, наиболее
часто встречающимися при описании различных физических явлений и наиболее хорошо
изученными математиками, являются уравнения, названные основными уравнениями математической
физики.
Математическая физика – это область феноменологической физики,
работающей с идеей непрерывных сред, в противоположность атомистической физики,
выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.
Перечислим основные
уравнения математической физики.
Обозначим через
- пространственные декартовы координаты точки, через
- время,
- заданную функцию,
- заданную
постоянную (имеющую в каждом уравнении свой физический смысл),
- неизвестную функцию, 
- оператор Лапласа

Тогда
основные уравнения математической физики записываются в следующем виде:
Уравнение
Лапласа
.
Потенциалы
поля тяготения и стационарного электрического поля (в котором отсутствуют массы
и электрические заряды)
удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также
потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного тока и другие явления;
Уравнение
Пуассона

описывает
установившееся тепловое состояние однородного и изотропного твердого тела при
наличии источников тепла, потенциал электрического поля при наличии зарядов и
др.;
Уравнение теплопроводности

описывает
процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явление диффузии
газов;
Волновое уравнение

описывает
распространение упругих, звуковых и электромагнитных волн, а также другие колебательные
явления.
Кроме этих классических уравнений известны и другие замечательные
уравнения, которые изучались уже в 20-ом столетии и которые имеют первостепенное
значение и для науки, и для технических приложений. К таковым относятся:
1.
Уравнение Шредингера

описывает
движение субатомных частиц в поле потенциала
, где
- комплексная функция, квадрат модуля которой
определяет плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в
точке
2. Уравнение Синус - Гордона

описывает квантовые поля,
самоиндуцированную прозрачность идеального диэлектрика при взаимодействии его
с электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные поверхности с постоянной
отрицательной кривизной, описывает также солитоны – уединенные волны, ведущие
себя подобно обычным частицам и т.д.;
3. Уравнение Кортевега - де Фриза

описывает
уединенные волны на поверхности жидкости, плазменные волны, слабонелинейные магнитогидродинамические
волны и другие процессы.
4. Уравнение Бюргерса

описывает
турбулентное течение, звуковые волны в вязкой среде, магнитогидродинамические
волны в среде с конечной электропроводимостью и другие явления.