Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Пример №5. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности   на отрезке , удовлетворяющее начальному условию , если

    Решение.  Применяя для решения уравнения метод разделения переменных и удовлетворяя краевым условиям, в общем случае получим

    ,

    где  - коэффициенты, подлежащие определению из начального условия. Удовлетворяя ему, имеем

    откуда видно, что  являются коэффициентами Фурье при разложении функции  в ряд по синусам на интервале , т.е.

    Окончательное решение поставленной задачи может быть записано в виде 

    .

    В нашем случае ,  и поэтому

    Следовательно,

    .

    Пример №6. Найти решение уравнения теплопроводности  для неограниченного стержня , удовлетворяющее начальному условию, если

    Решение.  В общем случае решение поставленной задачи Коши может быть найдено в виде интеграла Пуассона

    Поскольку в нашем случае на отрезке  функция  равна постоянной , а вне его температура равна 0, то решение примет вид

    где  , .

     Данный результат, для упрощения вычислений, можно преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)

    .

    Для этой функции имеются специальные таблицы, приведенные в Приложении 3. Тогда

    В нашем случае

    Эта формула дает значение температуры в любой точке стержня x в любой момент времени , если в начальный момент времени  на участке  был произведен мгновенный нагрев стержня до значения 4. Например, , то

    Отметим, что рассмотренный подход к решению задачи теплопроводности целесообразен тогда, когда стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на его концах.

    ПРИЛОЖЕНИЕ

    ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕ 

    К ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

    1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики

    Уравнение, связывающее неизвестную функцию , независимые переменные  и частные производные от функции   называется дифференциальным уравнением с частными производными

      (1)

    где - заданная функция своих аргументов.

     Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения с частными производными.

     Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции. Например, уравнение

    является квазилинейным уравнением второго порядка, - заданные функции.

    Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно и относительно неизвестной функции, и относительно ее частных производных. Примером линейного уравнения второго порядка является уравнение

    где   - заданные функции, - неизвестная функция.

    Решением уравнения с частными производными (6.1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

      Например, уравнение

    имеет решение , где  - любая дифференцируемая функция.

     Упражнение. Проверьте последнее утверждение. Покажите также, что любая дифференцируемая функция   является решением уравнения

    .

    Многие задачи математики, физики, различных областей техники приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Удивительно то, что весьма многие задачи из разных отраслей знания приводят к одним и тем же уравнениям.

    Из всех известных уравнений с частными производными, наиболее часто встречающимися при описании различных физических явлений и наиболее хорошо изученными математиками, являются уравнения, названные основными уравнениями математической  физики.

    Математическая физика – это область феноменологической физики, работающей с идеей непрерывных сред, в противоположность атомистической физики,  выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.

    Перечислим основные уравнения математической физики.

    Обозначим через  - пространственные декартовы координаты точки, через  - время,   - заданную функцию, - заданную постоянную (имеющую в каждом уравнении свой физический смысл), - неизвестную функцию,  - оператор Лапласа

    Тогда основные уравнения математической физики записываются в следующем виде:

    Уравнение  Лапласа

    .

    Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля (в котором отсутствуют массы и электрические заряды)

    удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного тока и другие явления;

    Уравнение  Пуассона

    описывает установившееся тепловое состояние однородного и изотропного твердого тела при наличии источников тепла, потенциал электрического поля при наличии зарядов и др.;

    Уравнение теплопроводности

    описывает процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явление диффузии газов;

    Волновое уравнение

    описывает распространение упругих, звуковых и электромагнитных волн, а также другие колебательные явления.

    Кроме этих классических уравнений известны и другие замечательные уравнения, которые изучались уже в 20-ом столетии и которые имеют первостепенное значение и для науки, и для технических приложений. К таковым относятся:

    1.  Уравнение Шредингера

    описывает движение субатомных частиц в поле потенциала , где  - комплексная функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в точке

    2. Уравнение Синус - Гордона

     

    описывает квантовые поля, самоиндуцированную прозрачность идеального диэлектрика при взаимодействии его с электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные поверхности с постоянной отрицательной кривизной, описывает также солитоны – уединенные волны, ведущие себя подобно обычным частицам и т.д.;

    3. Уравнение Кортевега - де Фриза

    описывает уединенные волны на поверхности жидкости, плазменные волны, слабонелинейные магнитогидродинамические  волны и другие процессы.

    4. Уравнение Бюргерса

    описывает турбулентное течение, звуковые волны в вязкой среде, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью и другие явления.

    Математика Примеры решения задач