Введение в математический анализ

Эластичность функции.

Эластичностью функции  называется предел отношения относительного приращения функции  к относительному приращению аргумента  при , обозначают  или .

Пример 44. Найти эластичность себестоимости, если известна функциональная зависимость себестоимости единицы продукции (у) от выпуска продукции (х) .

Решение.

Найдем эластичность по формуле , получим  или . Если выпуск продукции равен  у.е., то эластичность равна , следовательно, при выпуске продукции на 300 у.е., увеличение его на 1% приведет к увеличению себестоимости на 9%.

Если выпуск продукции равен 400 у.е., то эластичность , тогда увеличение выпуска продукции на 1% приведет к снижению себестоимости на 6%.

Пример 45.

Найти эластичность функции спроса  при равновесной цене, если функция …

Решение

Найдем равновесную цену , решив уравнение : ; ; ; . При равновесной цене 20 у.е. спрос равен . Эластичность функции спроса ; при  эластичность .

Так как , то при увеличении цены  на 1%, от 20 у.е. до 20,2 у.е. спрос уменьшится на 0,8%, от 16 до 15,872, т.к. .

Например неэлементарная функция рассматривается в следующей задаче.

Пример 46. Найти и построить график функции подоходного налога , если доход , то  составляет 8% от ; если доход , то налог взимается по ставке 20% от дохода, превышающего , если доход , то ставка 40%.

Решение.

Найдем аналитическое выражение для функции , по условию задачи функцию можно описать тремя различными формулами:

или .

Построим график функции :

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1

Пример №1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , заданную на отрезке

Решение. Рядом Фурье функции называется функциональный ряд вида

где коэффициенты  определяются по формулам

.

Так как заданная функция кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в любой точке . Вычислим коэффициенты этого ряда:

  ,

Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получим

Пример №2. Разложить в ряд Фурье по косинусам  функцию

на отрезке  и найти сумму ряда

Решение. Продолжим функцию четным образом и вычислим коэффициенты Фурье:

 

Следовательно, 

Полагая , получаем:

.

Пример №2. Решить задачу Штурма-Лиувилля

Решение.  Требуется найти отличные от тождественного нуля (нетривиальные) решения дифференциального уравнения

 удовлетворяющие краевым условиям . Те значения параметра , при которых существуют такие решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие или нетривиальные решения – собственными функциями.

 Рассмотрим три случая:

1) . Характеристическое уравнение  имеет два действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид

.

Удовлетворяя краевым условиям, приходим к системе

которая имеет действительное решение  и, следовательно,

2) . Общее решение дифференциального уравнения   и краевые условия снова дают , а поэтому и в данном случае

3) . Характеристическое уравнение имеет два мнимых корня , которым соответствует общее решение дифференциального уравнения  Для удобства перепишем это решение в виде   Из условия  получаем  и поэтому  Условие  приводит к уравнению  Так как  и , то , откуда получаем   . То есть, собственные значения задачи Штурма - Лиувилля

  ,

а собственные функции

   .

Пример №3. Методом Даламбера найти форму струны, определяемую волновым уравнением , если в начальный момент времени ее форма и скорость удовлетворяют условиям Коши

Решение. Нетрудно проверить, что если  и  - любые дважды дифференцируемые функции, то функция   является решением волнового уравнения. Удовлетворяя начальным условиям, получим решение поставленной задачи в виде

Подставляя сюда функции  и , имеем

Следует отметить, что решение Даламбера, полученное для бесконечной струны, имеет практическое применение только для малых значений времени, когда колебания конечной струны не успели дойти до ее концов. Кроме того, функции  и  должны быть такими, чтобы в течение всего процесса  была малой величиной, которой можно пренебречь по сравнению с 1.

Пример №4. Методом Фурье решить смешанную задачу для волнового уравнения   на отрезке , если

Решение. Данная задача называется смешанной, так как помимо начальных условий Коши, содержит краевые условия жесткого закрепления струны по ее концам (два последних условия).

Руководствуясь методом Фурье (методом разделения переменных), будем искать нетривиальные решения волнового уравнения, удовлетворяющие только краевым условиям, в виде произведения . Подставляя  в исходное уравнение, для функции   получаем задачу Штурма-Лиувилля

Ее собственные значения  . При этих значениях  решение поставленной задачи может быть представлено в виде суммы бесконечного ряда

где постоянные  и  подлежат определению с помощью начальных условий. Их использование на отрезке  в общем случае дает

 

Так как в нашем случае , то , а коэффициенты  находим двукратным применением метода интегрирования по частям

Окончательно,

Колебания струны, происходящие по найденному закону, представляет собой суперпозицию колебаний, называемых собственными колебаниями или стоячими волнами. При таких колебаниях каждая точка x струны производит гармонические колебания с частотой, в общем случае, равной  и с амплитудой

Математика Примеры решения задач