Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Производные в экономике

    Экономический смысл производной.

    Предельная производительность труда. Если  - количество производственной продукции   за время , то период  количество производственной продукции составляет , тогда , есть производительность труда в момент .

    Предельные затраты (издержки) производства. Если  - функция затрат производства,

    где  - количество выпускаемой продукции, тогда

      - прирост продукции

     - приращение затрат производство, тогда производная  выражает предельные затраты производства при неограниченном уменьшении прироста объема производства

    Аналогично можно определить.

    Предельный спрос: ,

    где  - функция спроса;

      - цена на товар

    Предельное предложение: ,

    где  - функция предложения.

    При увеличении цены  на единицу производная  оценивает увеличение предложения товара от производителей, а производная от функции спроса  позволяет оценить уменьшение спроса со стороны покупателя.

    Данные показывают, что с увеличением цены спрос на продукцию падает; с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, а также уменьшает средний доход; это характерно для монопольного рынка, когда одна или несколько фирм контролируют цены на определенную продукцию.

    В условиях свободного конкурентного рынка, когда участников рынка достаточно много, цены не контролируются, рыночная цена , например, суммарный доход равен .

    В этом случае средний и предельный доходы равны , .

    В экономике часто предельные величины называют маржинальными и обозначают

      - предельные затраты,

      - предельное предложение,

      - предельный спрос и прочее.

    В отличие от предельных при записи средних (average) величин используют обозначения

      - среднее предложение,

      - средний спрос,

     - средний доход

    Пример 43.

    Найти предельный и средний доход на единицу продукции , если функция спроса равна .

    Решение.

    Суммарный доход от реализованной продукции в количестве  равен  или . Тогда, средний доход на единицу продукции ; предельный доход (дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции) равен

    Задача 2.

    Известна функция затрат производства  (у.е.) найти предельные затраты, если объем выпускаемой продукции равен 20 ед.

    Решение. Предельные затраты производства равны производной: ; при заданном объеме  ед., найдем  (у.е.).

    Предельные затраты на производство дополнительной единицы продукции при заданном объеме выпускаемой продукции 20 ед. будут равны 18 у.е.

    Задача 3.

    Количество произведенной продукции за рабочее время , , задано функцией: .

    Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через два часа после начала работы и за час до ее окончания.

    Решение.

    Производительность труда в момент  равна производной . Скорость изменения производительности равна второй производной . Темп  изменения производительности равен . Найдем их значения в заданный момент времени при  и

    ; ;

    ; ; .

    Таким образом, к концу рабочего дня производительность труда снижается, и снижается скорость и темп ее изменения .

    2.4.2.2. Экономический смысл производной второго порядка. Если  - функция выпуска продукции, она выражает зависимость объема производства от наличия или потребления ресурса  (частный вид производственной функции).

    Производная  есть предельная производительность ресурса, она характеризует увеличение или уменьшение выпуска продукции, вызванное увеличением затрат данного ресурса  есть количество работников в данный момент времени, то производная  выражает добавочную продукцию, производимую новым работником за единицу времени.

    Производную второго порядка , равную скорости изменения предельной производительности, называют темпом изменения функции .

    Очевидно, что при положительном темпом  возрастает скорость изменения предельной производительности при увеличении ; при отрицательном темпе  увеличения  приводит к уменьшению скорости изменения функции.

    Математика Примеры решения задач