Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Приложения в экономике

    Функции в экономике

    Экономические процессы описываются как функциями одной, так и нескольких переменных. Наиболее часто используются производственные функции, функции …, полезности (предпочтений), издержек, спроса, предложения, потребления и другие.

    Производственная функция выдает результат производственной деятельности от факторов, пусть  - величина общественного продукта

      - затраты труда

     - объем производственных фондов, тогда функция двух переменных – функция Кобба - Дугласа

    Функция полезности выражает полезность от  приобретенных товаров ,

     например, логарифмическая функция полезности  или

    Функции спроса и предложения выражают зависимость объема спроса или предложения на отдельные товары от таких факторов, как цена, доход и другие.

    Часто зависимость спроса и различные товары от дохода описываются функции Торнквиста:

    Зависимость спроса или предложения от цены описывается, например, линейными функциями:

    спроса  

    или

    предложения .

    Одной из главных задач рынка является установление равновесной цены (price) - , то есть такой цены, при которой спрос (demand)  равен предложению (supply)  

    Предположим, что функции ,  непрерывны, тогда их разность  также непрерывна функция, причем имеет разные знаки  - спрос превышает предложение, если цена  - мала; , если цена велика, то по свойству непрерывной функции (теорема Больцано – Коши), обязательно существует такое значение , при котором , то есть .

    Функции прибыли и затрат (издержек). Пусть  - количество продукта; которая реализуется по цене , в этом случае   - полный доход;  - функция затрат выражает зависимость общих расходов на производство  единиц продукции; тогда разность между полным доходом и общими затратами есть прибыль от реализации  единиц продукции: . Графически функцию прибыли   можно изобразить следующим образом

    Значение функции прибыли  на отрезке  отрицательна,  здесь затраты превышают доход; когда выпуск продукции становится больше некоторого количества , то прибыль начинает расти, то есть .

    Задача.

    Найти равновесную цену, если известны функции спроса  и предложения . Найти выручку при равновесной цене , а также при ценах .

    Решение.

    Очевидно, что ,

    ,

    ,

    тогда для функции  имеем: ,

    для функции :

    Точку равновесия найдем из условия , то есть  или ; откуда  - равновесная цена; при этом количество товара

    При равновесной цене выручка равна . При  получим . При  получим .

    Задача.

    Найти и построить функцию прибыли, если фирма реализует  единиц продукцию по цене   за единицу, при известных постоянных затратах, равных 12 у.е. и переменных затратах на единицу продукции равных  у.е.

    Решение.

    Функция прибыли равна , где  функция полного дохода равна произведению цены   на количество продукции : ;  - функция затрат (издержек) равна сумма постоянных и переменных затрат, на  единиц продукции:  или . Итак, функция прибыли:

    .

    Построим графики функций , ,

    Максимальная прибыль достигается при , , при этом объеме продукта доход равен  (у.е.), и затраты  (у.е.).

    Математика Примеры решения задач