Введение в математический анализ

Приложения в экономике

Функции в экономике

Экономические процессы описываются как функциями одной, так и нескольких переменных. Наиболее часто используются производственные функции, функции …, полезности (предпочтений), издержек, спроса, предложения, потребления и другие.

Производственная функция выдает результат производственной деятельности от факторов, пусть  - величина общественного продукта

  - затраты труда

 - объем производственных фондов, тогда функция двух переменных – функция Кобба - Дугласа

Функция полезности выражает полезность от  приобретенных товаров ,

 например, логарифмическая функция полезности  или

Функции спроса и предложения выражают зависимость объема спроса или предложения на отдельные товары от таких факторов, как цена, доход и другие.

Часто зависимость спроса и различные товары от дохода описываются функции Торнквиста:

Зависимость спроса или предложения от цены описывается, например, линейными функциями:

спроса  

или

предложения .

Одной из главных задач рынка является установление равновесной цены (price) - , то есть такой цены, при которой спрос (demand)  равен предложению (supply)  

Предположим, что функции ,  непрерывны, тогда их разность  также непрерывна функция, причем имеет разные знаки  - спрос превышает предложение, если цена  - мала; , если цена велика, то по свойству непрерывной функции (теорема Больцано – Коши), обязательно существует такое значение , при котором , то есть .

Функции прибыли и затрат (издержек). Пусть  - количество продукта; которая реализуется по цене , в этом случае   - полный доход;  - функция затрат выражает зависимость общих расходов на производство  единиц продукции; тогда разность между полным доходом и общими затратами есть прибыль от реализации  единиц продукции: . Графически функцию прибыли   можно изобразить следующим образом

Значение функции прибыли  на отрезке  отрицательна,  здесь затраты превышают доход; когда выпуск продукции становится больше некоторого количества , то прибыль начинает расти, то есть .

Задача.

Найти равновесную цену, если известны функции спроса  и предложения . Найти выручку при равновесной цене , а также при ценах .

Решение.

Очевидно, что ,

,

,

тогда для функции  имеем: ,

для функции :

Точку равновесия найдем из условия , то есть  или ; откуда  - равновесная цена; при этом количество товара

При равновесной цене выручка равна . При  получим . При  получим .

Задача.

Найти и построить функцию прибыли, если фирма реализует  единиц продукцию по цене   за единицу, при известных постоянных затратах, равных 12 у.е. и переменных затратах на единицу продукции равных  у.е.

Решение.

Функция прибыли равна , где  функция полного дохода равна произведению цены   на количество продукции : ;  - функция затрат (издержек) равна сумма постоянных и переменных затрат, на  единиц продукции:  или . Итак, функция прибыли:

.

Построим графики функций , ,

Максимальная прибыль достигается при , , при этом объеме продукта доход равен  (у.е.), и затраты  (у.е.).

Математика Примеры решения задач