Введение в математический анализ

Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке и в области

 Из свойств функции y = f(x), непрерывной на отрезке [a, b],

следует, что она достигает на этом отрезке своего Эти значения функция принимает или во внутренних критических точках отрезка, или на его концах. Поэтому для нахождения наибольшего или наименьшего значения.y = f(x) на [a, b] надо:

найти критические точки из уравнения f / (x)=0, принадлежащие (a, b);

вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [a, b];

самое большое и самое меньшее значения из всех вычисленных и будут наибольшим значениями функции на отрезке.

Пример 40. Найти наибольшее и  наименьшее значения функции

Решение.

1) найдем критические точки

, решая уравнение, находим

2) вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка

.

3) наибольшее значение данной функции на отрезке равно , наименьшее -

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

Всякая непрерывная в замкнутой области D функция z=f(x, y) достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция принимает или во внутренних критических точках области D, или на границе этой области.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

 z=f(x, y) в области D можно использовать следующий алгоритм:

Решая систему , найти критические точки, расположенные внутри области D, и вычислить значения функции в этих точках.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Так как координаты точек границы связаны соотношением

, то данная функция z=f(x, y) на границе D превращается в функцию одной переменной:

  где  для точек D.

Если граница области образована различными линиями, то надо находить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы в отдельности.

 3. Из всех полученных значений функции выбрать самое большее и самое малое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в области D.

Пример 41. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области D, ограниченной линиями:

.

Решение.

у

 9

0  В х

 

 М

 

 

 

-9

  А

 

 Рис.33

 
Из системы

следует, что М(2,-4) – критическая внутренняя точка области D. Вычислим значение функции в этой точке: zM= -12.

2. Граница области образована линиями ОА, ОВ, АВ.

Уравнение ОА: х=0. На этом участке границы

 

Находим критические точки этой функции:

Вычислим значения:

Аналогично рассмотрим участки границы ОВ и АВ.

Уравнение ОВ: , отсюда х=0.

Внутренних критических точек на [0, 9] функция z = x2 не имеет.

Вычислим значение: z(9,0)=81.

На втором конце отрезка [0, 9] значение z(0,0) уже вычислено.

Уравнение АВ: , отсюда  На концах отрезка [-9, 0] значения функции z=f(x, y) уже вычислены.

3.Таким образом, надо сравнить между собой вычисленные значения функции

Наибольшее значение z=81 при х = 9, у = 0.

Наименьшее значение z=-12 при х = 2, y =-4.

Условные экстремумы

Экстремумы функции u = f(M) с областью определения D, точки которой связаны условиями  называются условными.

Точка М0 , в которой такая функция достигает экстремума, называется точкой условного экстремума.

Необходимость нахождения условных экстремумов возникает в тех задачах, где приходится сравнивать между собой точки, координаты которых связаны условиями в виде уравнений .

Чтобы найти необходимые условия существования условных экстремумов, построим новую функцию, связывающую единым уравнением исследуемую функцию u = f(M) и все дополнительные условия

Эта новая функция называется функцией Лагранжа и представляет собой линейную комбинацию функций  и обозначается: , Частные производные функции  равны:

 

Если функция F(M) имеет экстремум в точке  

так как  потому что М0 – точка экстремума;

  потому что

Также .

Таким образом, условия, определяемые системой этих (n+k) уравнений, являются необходимыми условиями существования в точке – М0 условного экстремума. Точка М0 называется условно критической точкой функции f(M). Совсем необязательно, что в этой критической точке существует экстремум. Достаточные условия условного экстремума определяются знаком дифференциала второго порядка функции Лагранжа.

Нередко требуется непосредственное исследование поведения функции f(M) вблизи М0.

Формула Тейлора

Рассмотрим задачу о замене функции y=f(x) в окрестности х = х0 многочленом у = Р(х) степени не выше n. Предположим, что при этом функция имеет все производные до (n+1) порядка, а также имеют место условия:

Пусть многочлен имеет форму

Коэффициенты многочлена можно найти, подставляя записанные выше условия в многочлен Р(х) и его производные:

Тогда получим 

Многочлен с такими коэффициентами имеет вид

При замене функции y=f(x) многочленом Р(х) допускается погрешность, определяемая разностью

  откуда  

или

Разность  называется остаточным членом. Чем меньше , тем ближе Р(х) к f(x) .

Чтобы оценить величину погрешности  при замене функции f(x) на многочлен Р(х), надо знать структуру формы остаточного члена. Естественно допустить, что форма  подобна форме членов многочлена. Если бы остаточный член имел в точности такую же форму, то имели бы многочлен степени (n+1) , а не n, как предусмотрено условием выше.

Предположим, что остаточный член имеет форму = , где функция  неизвестна. Тогда

Введем такую вспомогательную функцию F(t), которая удовлетворяет условиям теоремы Роля при t между х0 и х:

где х, а значит, и f(x),  будем считать постоянными.

Функция F(t) непрерывна в близи точки х0. Если данная функция имеет также (n+1) производную, то функция F(t) дифференцируема вблизи точки х0.

Именно:

На концах отрезка с абсциссами х0 и х значения функции F(t) равны: F(x)=F(x0)=0 .

Таким образом, функция F(t) отвечает условиям теоремы Роля, значит, между х0 и х существует такое значение , при котором  т.е. . Отсюда

Итак,

где значение  заключено между х и х0.

Это выражение называется формой Лагранжа для остаточного члена.

Значение  можно представить равенствомθ, где 0<θ<1, так как  заключено между х и х0.

Равенство  называется формулой Тейлора.

В частности, если х0=0, то получим формулу Маклорена:

Пример 42.

 Написать формулу Маклорена:

для функции f(x)=cos x и вычислить .

Решение.

Найдем производные функции и вычислим их при x=0 , подставим их в формулу Маклорена, получим

 .

Если х=10=  рад, то,

например, при n=3 имеем cos x , , тогда получим:

  

так как  при .

Математика Примеры решения задач