Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке и в области

     Из свойств функции y = f(x), непрерывной на отрезке [a, b],

    следует, что она достигает на этом отрезке своего Эти значения функция принимает или во внутренних критических точках отрезка, или на его концах. Поэтому для нахождения наибольшего или наименьшего значения.y = f(x) на [a, b] надо:

    найти критические точки из уравнения f / (x)=0, принадлежащие (a, b);

    вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [a, b];

    самое большое и самое меньшее значения из всех вычисленных и будут наибольшим значениями функции на отрезке.

    Пример 40. Найти наибольшее и  наименьшее значения функции

    Решение.

    1) найдем критические точки

    , решая уравнение, находим

    2) вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка

    .

    3) наибольшее значение данной функции на отрезке равно , наименьшее -

    Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

    Всякая непрерывная в замкнутой области D функция z=f(x, y) достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция принимает или во внутренних критических точках области D, или на границе этой области.

    Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

     z=f(x, y) в области D можно использовать следующий алгоритм:

    Решая систему , найти критические точки, расположенные внутри области D, и вычислить значения функции в этих точках.

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Так как координаты точек границы связаны соотношением

    , то данная функция z=f(x, y) на границе D превращается в функцию одной переменной:

      где  для точек D.

    Если граница области образована различными линиями, то надо находить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы в отдельности.

     3. Из всех полученных значений функции выбрать самое большее и самое малое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в области D.

    Пример 41. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

    в области D, ограниченной линиями:

    .

    Решение.

    у

     9

    0  В х

     

     М

     

     

     

    -9

      А

     

     Рис.33

     
    Из системы

    следует, что М(2,-4) – критическая внутренняя точка области D. Вычислим значение функции в этой точке: zM= -12.

    2. Граница области образована линиями ОА, ОВ, АВ.

    Уравнение ОА: х=0. На этом участке границы

     

    Находим критические точки этой функции:

    Вычислим значения:

    Аналогично рассмотрим участки границы ОВ и АВ.

    Уравнение ОВ: , отсюда х=0.

    Внутренних критических точек на [0, 9] функция z = x2 не имеет.

    Вычислим значение: z(9,0)=81.

    На втором конце отрезка [0, 9] значение z(0,0) уже вычислено.

    Уравнение АВ: , отсюда  На концах отрезка [-9, 0] значения функции z=f(x, y) уже вычислены.

    3.Таким образом, надо сравнить между собой вычисленные значения функции

    Наибольшее значение z=81 при х = 9, у = 0.

    Наименьшее значение z=-12 при х = 2, y =-4.

    Условные экстремумы

    Экстремумы функции u = f(M) с областью определения D, точки которой связаны условиями  называются условными.

    Точка М0 , в которой такая функция достигает экстремума, называется точкой условного экстремума.

    Необходимость нахождения условных экстремумов возникает в тех задачах, где приходится сравнивать между собой точки, координаты которых связаны условиями в виде уравнений .

    Чтобы найти необходимые условия существования условных экстремумов, построим новую функцию, связывающую единым уравнением исследуемую функцию u = f(M) и все дополнительные условия

    Эта новая функция называется функцией Лагранжа и представляет собой линейную комбинацию функций  и обозначается: , Частные производные функции  равны:

     

    Если функция F(M) имеет экстремум в точке  

    так как  потому что М0 – точка экстремума;

      потому что

    Также .

    Таким образом, условия, определяемые системой этих (n+k) уравнений, являются необходимыми условиями существования в точке – М0 условного экстремума. Точка М0 называется условно критической точкой функции f(M). Совсем необязательно, что в этой критической точке существует экстремум. Достаточные условия условного экстремума определяются знаком дифференциала второго порядка функции Лагранжа.

    Нередко требуется непосредственное исследование поведения функции f(M) вблизи М0.

    Формула Тейлора

    Рассмотрим задачу о замене функции y=f(x) в окрестности х = х0 многочленом у = Р(х) степени не выше n. Предположим, что при этом функция имеет все производные до (n+1) порядка, а также имеют место условия:

    Пусть многочлен имеет форму

    Коэффициенты многочлена можно найти, подставляя записанные выше условия в многочлен Р(х) и его производные:

    Тогда получим 

    Многочлен с такими коэффициентами имеет вид

    При замене функции y=f(x) многочленом Р(х) допускается погрешность, определяемая разностью

      откуда  

    или

    Разность  называется остаточным членом. Чем меньше , тем ближе Р(х) к f(x) .

    Чтобы оценить величину погрешности  при замене функции f(x) на многочлен Р(х), надо знать структуру формы остаточного члена. Естественно допустить, что форма  подобна форме членов многочлена. Если бы остаточный член имел в точности такую же форму, то имели бы многочлен степени (n+1) , а не n, как предусмотрено условием выше.

    Предположим, что остаточный член имеет форму = , где функция  неизвестна. Тогда

    Введем такую вспомогательную функцию F(t), которая удовлетворяет условиям теоремы Роля при t между х0 и х:

    где х, а значит, и f(x),  будем считать постоянными.

    Функция F(t) непрерывна в близи точки х0. Если данная функция имеет также (n+1) производную, то функция F(t) дифференцируема вблизи точки х0.

    Именно:

    На концах отрезка с абсциссами х0 и х значения функции F(t) равны: F(x)=F(x0)=0 .

    Таким образом, функция F(t) отвечает условиям теоремы Роля, значит, между х0 и х существует такое значение , при котором  т.е. . Отсюда

    Итак,

    где значение  заключено между х и х0.

    Это выражение называется формой Лагранжа для остаточного члена.

    Значение  можно представить равенствомθ, где 0<θ<1, так как  заключено между х и х0.

    Равенство  называется формулой Тейлора.

    В частности, если х0=0, то получим формулу Маклорена:

    Пример 42.

     Написать формулу Маклорена:

    для функции f(x)=cos x и вычислить .

    Решение.

    Найдем производные функции и вычислим их при x=0 , подставим их в формулу Маклорена, получим

     .

    Если х=10=  рад, то,

    например, при n=3 имеем cos x , , тогда получим:

      

    так как  при .

    Математика Примеры решения задач