Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Асимптоты функции

    Если расстояние от точки М линии y=f(x) до прямой l неограниченно уменьшается при неограниченном удалении точки М от начала координат, то такая прямая называется асимптотой линии.

    Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

    если х = х0 – точка разрыва второго рода функции y = f(x), то эта функция имеет вертикальную асимптоту х = х0 ,в этом случае

    .

    если y=kx+b – наклонная асимптота функции y=f(x), то

     Чтобы функция y=f(x) имела наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы, определяющие k и b.

    Пример 38

    Найти функция асимптоты графика функции .

    Решение.

     Точка х = 2 является точкой разрыва функции.

    Так как односторонние пределы равны:

    то х =2 – точка разрыва второго рода, поэтому функция имеет вертикальную асимптоту х = 2.

    Найдем наклонную асимптоту, уравнение которой

    y=kx+b.

      Вычислим 

    Так как параметры k и b существуют, то график функции имеет наклонную асимптоту

    у = -1.

    Исследование функции одной переменной (общая схема)

    Полное исследование функции  дает возможность составить наглядное представление о ней в виде графика, прогнозировать течение процесса, описываемого этой функцией.

    Общая схема исследования функции одной переменной.

    Найти область определения функции. Это совокупность значений х, для которых можно вычислить значения у, пользуясь непосредственно уравнением y = f(x), или f(x, y) =0. Иначе, область определения функции есть множество значений х, при которых функция имеет смысл. 

    Найти точки пересечения графика функции с осями координат. В точке пересечения графика функции

     с осью Ох : у = 0,

     с осью Оу: х=0.

    Исследовать функцию на четность, нечетность:

    условие четности: f(-x) = f(x).

    условие нечетности: f(-x)=-f(x).

    График четной функции симметричен относительно Оу,

    нечетной – относительно начала координат.

    Найти точки разрыва функции, если они есть, то найти односторонние пределы в каждой такой точке.

    Найти асимптоты графика функции.

    Если есть точка разрыва второго рода х = а, то существует вертикальная асимптота х = а.

    Наклонная асимптота определятся уравнением

    у = х+b,

    где

    Найти интервалы монотонности. Точки экстремумов.

    Найти интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

    Построить график функции.

    По результатам исследования строим асимптоты, точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, перегиба. Потом, учитывая характер монотонности, направление выпуклости, приближение графика к асимптоте, строим полный график функции. Он может состоять из одной или нескольких линий.

     у

     

     

     

      1 2

    -1 min x 

     -1

     

     

      -4 

     max

     

     

     

     

    Рис.31

     
    Пример: Исследовать функцию и построить её график.

    Решение.

     


    х = 0 – точка минимума;

    х = 2 – точка максимума;

    х = 1, у = -х -1 – асимптоты функции;  - интервалы убывания функции;

    - интервал вогнутости;

     - интервал выпуклости функции.

    2.3.9. Экстремумы функции двух переменных

    Пусть D – область определения функции z=f(x, y);

     M0(x0, y0) .

    Если значение функции z=f(x, y) в точке M0 является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими ее значениями в  - окрестности точки M0, то это значение называется максимумом (минимумом) функции, а точка M0 - точкой максимума (минимума).

    Максимумы и минимумы функции, как сказано ранее, называют экстремумами.

    Необходимые условия существования экстремума: если функция z=f(x, y) имеет в точке   экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю  или хотя бы одна из частных производных не существует.

     Как и прежде, точки, в которых выполняются необходимые условия существования экстремума функции z=f(x, y) , называются критическими.

    Достаточное условие существования экстремума: чтобы функция

    z=f(x, y) имела в критической точке  экстремум, достаточно, чтобы в этой точке выполнялось условие

    Если при этом , то Р0 - точка минимума;

    если , то Р0 - точка максимума.

    При  экстремум в точке Р0 не существует.

    При  требуется непосредственное исследование значений функции в точке Р0 и в точках ее окрестности.

    Пример 39.

     Найти экстремумы функции

    .

    Решение.

      Сначала найдем критические точки, решив систему

     

    получим М1(0,0), М2(1,1) – критические точки.

    Найдем определитель :

    Исследуем знак  в каждой критической точке. Для М1(0,0) =-9<0, значит, в точке М1 экстремум не существует.

    Для М2(1,1) =36-9=27>0, значит М2 – точка экстремума. Так как  - минимум.

    Математика Примеры решения задач