Дифференциальные уравнения Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

    Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y’,y’’)=0.

    Если уравнение не содержит явно искомую функцию , то есть имеет вид F(x,y’,y’’)=0 , то такое уравнение следует решать с помощью замены , где  - новая неизвестная функция. В результате замены получаем уравнение первого порядка, из которого следует искать p=p(x). Если это уравнение известного нам типа и нам удалось найти его общее решение p=P(x,C1), где C1 – произвольная постоянная, то вспоминая формулу замены y’=p получаем дифференциальное уравнение первого порядка y’=P(x,C1). Оттуда, y=ò P(x,C1)dx. В результате последнего интегрирования в ответе возникает еще одна произвольная постоянная C2.

     Пример. Найдем частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям 

    Полагая , мы получаем дифференциальное уравнение для нахождения p=p(x):  Это линейное уравнение первого порядка, решая которое получим

    Из условия   получаем   Следовательно,  или . Интегрируя еще раз получим  Полагая  при , находим  Следовательно, искомое частное решение имеет вид  

     Если уравнение не содержит явно независимую переменную , то есть уравнение имеет вид  то в этом случае делают замену .

    Подчеркнем, что в этом случае p есть функция от y, и равенство y’=p надо понимать как y’(x)=p(y(x)), откуда y’’(x)=p’(y(x))y’(x)=p’p.

    В результате замены мы придем к уравнению , из которого надо найти p=P(y,C1). После этого решая уравнение y’= P(y,C1) с разделяющимися переменными мы получаем общее решение исходного уравнения.

     Пример. Найдем частное решение уравнения  при условии  Так как уравнение не содержит x, то делаем замену  . В результате наше уравнение преобразуется в следующее:   Мы получили уравнение типа Бернулли относительно , решая которое найдем 

     Из условия  получаем, что , откуда  Следовательно,

      или  Решая это уравнение с разделяющимися переменными, имеем:

    Полагая   при  получаем  откуда 

    Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

    с постоянными коэффициентами

     Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

      (4.1) 

    где  и  числа.

     Для нахождения решения уравнения (4.1) для него составляют характеристическое уравнение

     , (4.2)

    которое получается из исходного дифференциального уравнения заменой   соответственно на  

    Доказано, что зная корни характеристического уравнения можно сразу выписать общее решение дифференциального уравнения (4.1). В зависимости от дискриминанта характеристического уравнения получаются следующие три случая.

     а) Если >0, то корни  и  уравнение (4.2) вещественные и различные, а общее решение уравнения (4.1) записывается в виде

     .

     б) Если =0, то уравнение (4.2) имеет два одинаковых корня ==, а общее решение уравнения (4.1) записывается в виде

     

     в) Если <0, то уравнение (4.2) имеет комплексные корни , , где ,  - обычные вещественные числа, а общее решение уравнения (4.1) записывается в виде

     

     Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка

     (4.3)

    где  и  – числа, а  – непрерывная функция.

    Доказано, что общее решение уравнения (4.3) складывается из общего решения   соответствующего однородного уравнения (4.1) и частного решения  неоднородного уравнения (4.3):

     

     Для нахождения частного решения можно применить метод вариации

    произвольных постоянных. Однако, если в правой части уравнения (4.3) стоит функция одного из перечисленных ниже видов, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

      Рассмотрим возможные специальные виды правых частей уравнения.

    Правая часть имеет вид 

      

    где  – многочлен степени n. Тогда частное решение нужно искать в виде

     

    где  – многочлен той же степени, что и , а r – количество совпадений числа L=0 с корнями характеристического уравнения.

    Правая часть имеет вид 

       

    где  – многочлен степени n. Тогда частное решение нужно искать в виде

     

    где  – многочлен той же степени, что и , а r – количество совпадений числа L=a с корнями характеристического уравнения.

    Правая часть имеет вид 

       

    где – известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде

     

    где – неизвестные коэффициенты, а r – количество совпадений числа L=ib с корнями характеристического уравнения.

    Пусть правая часть имеет вид 

      

    где  – многочлен степени n,  – многочлен степени m. Тогда частное решение следует искать в виде

     

    где  и  – многочлены степени s, , а r – количество совпадений числа L=a+ib с корнями характеристического уравнения.

    Отметим, что многочлены Q(x), о которых шла речь, имеют неопределенные буквенные коэффициенты, которые надо подобрать так, чтобы функция Y действительно была решением уравнения (4.3) со специальной правой частью. Как это происходит на практике, мы покажем на примерах.

     Пример. Найдем общее решение уравнения 

    Характеристическое уравнение   имеет корни 

       и . Общее решение соответствующего однородного уравнения . Правая часть исходного уравнения  Следовательно,  так как  Дифференцируя  дважды и подставляя производные в данное уравнение, получим:

     

    Сокращая на  и приравнивая, друг другу коэффициенты при одинаковых степенях  и свободные члены в левой и правой частях уравнения, имеем

      откуда 

    Таким образом,   а общее решение данного уравнения 

     Пример. Найдем общее решение уравнения 

     Характеристическое уравнение   имеет корни  и . Отсюда общее решение соответствующего однородного уравнения  () есть  

    Так как правая часть уравнения имеет вид

       

    где , то ей соответствует частное решение

      (здесь ).

     Дифференцируем  дважды и подставляем производные в исходное уравнение. Для нахождения неопределенных коэффициентов следует привести подобные члены и приравнять коэффициенты в обеих частях уравнения при  и  В результате мы получаем систему четырех уравнений   из которых определяются четыре неопределенных коэффициента  Поэтому  а общее решение исходного уравнения 

    Математика Примеры решения задач