Введение в математический анализ

Экстремум функции одной переменной

Интервалы монотонности

Рассмотрим следующие виды монотонных функций. Очевидно, что если

1) x1<x2 

 y1<y2, тогда

y=f (x)- возрастающая функция, ;

 2)x1<x2 

 y1>y2, тогда

  y=f(x) – убывающая функция, ;

 3)x1<x2 ,

,  тогда 

 y=f3(x) – неубывающая функция, в этом случае существует отрезок

[a, b], для которого у сохраняет постоянное значение,  

4) x1<x2 , 

  

y=f (x) – невозрастающая функция, существует

определенный отрезок [c, d], для точек которого у является постоянным, .

Необходимые условия монотонности функции:

если функция y=f(x) возрастает на (a, b), то f /(x)>0 для ;

  если y=f(x) - неубывающая функция на (a, b), то  для ;

 если функция y=f(x) убывает на (a, b) , то  для  ;

 если функция y=f(x) является невозрастающей на (a, b) , то  для .

 y

 

 

 

  y = f1(x) y = f2(x) y = f3(x) y = f4(x)

 

 

0  x

 x x x x2 x1 x x/ xxx/2

 

 

 

 a) в) с) d)

 


 

 


Для данных непрерывных функций существует соответственно:

 

Таким образом, каждый тип монотонности функции обуславливает строгое или нестрогое неравенство, связывающее у / и 0.

Имеют место и обратные утверждения, т.е. достаточные условия того или иного типа монотонности функции на (a, b).

Необходимое и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной

Из теоремы Ферма следует, что если х = х0 точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю

f /(x0) =0.

Следует также отметить, что, иногда, в точке экстремума функция может быть недифференцируемой, т.е. в этой точке производная не существует.

Необходимое условие существования экстремума функции: если х = х0 - точка экстремума, то f /(x0) =0 или f /(x0) не существует.

Точки, в которых f /(x0) обращается в нуль или не существует, называется критическими.

Достаточное условие существования экстремума функции: если функция y=f(x) непрерывна в точке х = х0 и ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки, и производная  при переходе через точку х = х0 меняет свой знак, то функция имеет экстремум при х = х0 .

При этом х = х0 - точка максимума, если знак меняется с « + » на « - », и х = х0 - точка минимума, если знак меняется с « - » на « + » .

Точки перегиба, Выпуклость, вогнутость линии

Дуга кривой называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

На рис. а) – выпуклая дуга, б) – невыпуклая дуга.

C

 

  D

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

0

 

б)

 

а)

 
Если дуга выпукла, то она целиком лежит по одну сторону от касательной проведенной в любой ее точке

 


x

 
 

Выпуклость дуги может быть направлена или вверх (в направлении оси Оу), или вниз

Линии, обращенные выпуклостью вверх, условились называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз – вогнутыми. 

Необходимое условие выпуклости дуги: есть дуга линии y=f(x) выпукла на (a, b), то  при .

Необходимое условие вогнутости дуги: если дуга линии y=f(x) вогнута на (a, b),то   при .

Достаточное условие выпуклости, вогнутости дуги: если  при , то дуга кривой y=f(x) выпукла на (a, b); если  при , то дуга кривой y=f(x) вогнута на (a, b).

Точка С линии, отделяющая выпуклую дугу от вогнутой или наоборот, называется точкой перегиба.

Предполагается, что в точке перегиба можно провести касательную к данной линии, которая лежит при этом по обе стороны от касательной


Необходимое условие существования точки перегиба: если С точка перегиба кривой y=f(x), то

Cлева от х = х0 , а справа . Это значит, что слева функция  убывает, а справа возрастает. Интервалы монотонности меняются в точке, в которой производная функция равна нулю   или  не существует. Точка х = х0 называется при этом критической.

Рассмотренное условие является лишь необходимым условием существования точки перегиба.

Например, если у = х 4, то у// =12х2=0 при х=0 не существует точки перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба: если  меняет свой знак при переходе через критическую точку х = х0 , то точка  - точка перегиба кривой y = f(x). Знаки  слева и справа от х = х0 показывают, как направлена выпуклость кривой при x < x0 и x > x0.

Математика Примеры решения задач