Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Экстремум функции одной переменной

    Интервалы монотонности

    Рассмотрим следующие виды монотонных функций. Очевидно, что если

    1) x1<x2 

     y1<y2, тогда

    y=f (x)- возрастающая функция, ;

     2)x1<x2 

     y1>y2, тогда

      y=f(x) – убывающая функция, ;

     3)x1<x2 ,

    ,  тогда 

     y=f3(x) – неубывающая функция, в этом случае существует отрезок

    [a, b], для которого у сохраняет постоянное значение,  

    4) x1<x2 , 

      

    y=f (x) – невозрастающая функция, существует

    определенный отрезок [c, d], для точек которого у является постоянным, .

    Необходимые условия монотонности функции:

    если функция y=f(x) возрастает на (a, b), то f /(x)>0 для ;

      если y=f(x) - неубывающая функция на (a, b), то  для ;

     если функция y=f(x) убывает на (a, b) , то  для  ;

     если функция y=f(x) является невозрастающей на (a, b) , то  для .

     y

     

     

     

      y = f1(x) y = f2(x) y = f3(x) y = f4(x)

     

     

    0  x

     x x x x2 x1 x x/ xxx/2

     

     

     

     a) в) с) d)

     


     

     


    Для данных непрерывных функций существует соответственно:

     

    Таким образом, каждый тип монотонности функции обуславливает строгое или нестрогое неравенство, связывающее у / и 0.

    Имеют место и обратные утверждения, т.е. достаточные условия того или иного типа монотонности функции на (a, b).

    Необходимое и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной

    Из теоремы Ферма следует, что если х = х0 точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю

    f /(x0) =0.

    Следует также отметить, что, иногда, в точке экстремума функция может быть недифференцируемой, т.е. в этой точке производная не существует.

    Необходимое условие существования экстремума функции: если х = х0 - точка экстремума, то f /(x0) =0 или f /(x0) не существует.

    Точки, в которых f /(x0) обращается в нуль или не существует, называется критическими.

    Достаточное условие существования экстремума функции: если функция y=f(x) непрерывна в точке х = х0 и ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки, и производная  при переходе через точку х = х0 меняет свой знак, то функция имеет экстремум при х = х0 .

    При этом х = х0 - точка максимума, если знак меняется с « + » на « - », и х = х0 - точка минимума, если знак меняется с « - » на « + » .

    Точки перегиба, Выпуклость, вогнутость линии

    Дуга кривой называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

    На рис. а) – выпуклая дуга, б) – невыпуклая дуга.

    C

     

      D

     

     

     

    y

     

     

     

     

     

     

    0

     

    б)

     

    а)

     
    Если дуга выпукла, то она целиком лежит по одну сторону от касательной проведенной в любой ее точке

     


    x

     
     

    Выпуклость дуги может быть направлена или вверх (в направлении оси Оу), или вниз

    Линии, обращенные выпуклостью вверх, условились называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз – вогнутыми. 

    Необходимое условие выпуклости дуги: есть дуга линии y=f(x) выпукла на (a, b), то  при .

    Необходимое условие вогнутости дуги: если дуга линии y=f(x) вогнута на (a, b),то   при .

    Достаточное условие выпуклости, вогнутости дуги: если  при , то дуга кривой y=f(x) выпукла на (a, b); если  при , то дуга кривой y=f(x) вогнута на (a, b).

    Точка С линии, отделяющая выпуклую дугу от вогнутой или наоборот, называется точкой перегиба.

    Предполагается, что в точке перегиба можно провести касательную к данной линии, которая лежит при этом по обе стороны от касательной


    Необходимое условие существования точки перегиба: если С точка перегиба кривой y=f(x), то

    Cлева от х = х0 , а справа . Это значит, что слева функция  убывает, а справа возрастает. Интервалы монотонности меняются в точке, в которой производная функция равна нулю   или  не существует. Точка х = х0 называется при этом критической.

    Рассмотренное условие является лишь необходимым условием существования точки перегиба.

    Например, если у = х 4, то у// =12х2=0 при х=0 не существует точки перегиба.

    Достаточное условие существования точки перегиба: если  меняет свой знак при переходе через критическую точку х = х0 , то точка  - точка перегиба кривой y = f(x). Знаки  слева и справа от х = х0 показывают, как направлена выпуклость кривой при x < x0 и x > x0.

    Математика Примеры решения задач