Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Дифференциал длины дуги

    Если функция y = f(x) и ее производная y/ = f / (x) непрерывна на (a, b), то функция называется гладкой на (a, b).

    Линия, определяемая гладкой функцией, называется гладкой. Она не имеет ни точек возврата, ни угловых точек.

    Пусть А – фиксированная точка, М – текущая точка гладкой линии

     


     


     

     
    Очевидно, длина дуги - функция от х.

    Найдем дифференциал этой функции – дифференциал длины дуги: /

    Если х получает приращение , то длина  также получает приращение: .

    При достаточно малом  длина дуги  и длина отрезка | эквиваленты, а значит, взаимозаменяемы при нахождении пределов. Поэтому  

    Таким образом,  или .

    Замечания:

    1.Если линия задана параметрически уравнениями , то

    2.Если линия задана в полярной системе уравнением , то учитывая, что , и принимая  за параметр, найдем

    Тогда .

    2.3.3. Геометрические приложения дифференциального исчисления функций одной переменной

    l

     

      y = f(x)

     

    y

     

    y0

     
    Касательная и нормаль к линии

     


    Согласно геометрическому смыслу, производной y / = tg;

    - угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

    Уравнение касательной к графику линии y = f(x)

    в точке М0(х0, у0) имеет вид 

      y - y0= f /(x0)(x-x0);

    где f / (x0) = k касс. - угловой коэффициент касательной.

    Прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания, называется нормалью к графику линии y = f(x) 

    Так как касательная и нормаль перпендикулярны друг к другу, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. для нормали  

    Итак, уравнение нормали:

    Пример 36. Найти уравнение касательной к эллипсу  в точке M0(x0, y0).

    Решение. 

    Найдем угловой коэффициент касательной, для этого найдем производную от функции, заданной неявно 

     

    В точке  имеем  

    Уравнение касательной:

    ,

    откуда  - уравнение касательной к эллипсу в точке .

    Угол между линиями на плоскости

    Углом между пересекающимися в точке М0 линиями называется угол  между касательными к линиям в точке их пересечения.

    Пусть  

    Тогда

     

    Геометрические приложения дифференциального исчисления функций двух переменных

    Касательная плоскость

    Если поверхность задана уравнением z = f(x,y), то

     уравнение касательной плоскостиимеет вид

    где  - нормальный вектор плоскости.

    Если поверхность задана неявным уравнением F(x, y, z) = 0, то частные производные  и  находим по известным формулам и тогда уравнение касательной плоскости:

    Нормаль к поверхности

    Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке.

    За направляющий вектор  нормали принимают нормальный вектор  касательной плоскости: .

    Нетрудно записать канонические уравнения нормали:

    Пример 37: Найти уравнение касательной и нормали к сфере.

    Решение. Уравнение сферы задано неявным уравнением.

     Найдем частные производные , вычислим их значения в точке М0.

    Итак, уравнение касательной плоскости:

    Уравнение нормали к сфере в точке М0 с направляющим вектором

    Математика Примеры решения задач