Введение в математический анализ

Дифференциал длины дуги

Если функция y = f(x) и ее производная y/ = f / (x) непрерывна на (a, b), то функция называется гладкой на (a, b).

Линия, определяемая гладкой функцией, называется гладкой. Она не имеет ни точек возврата, ни угловых точек.

Пусть А – фиксированная точка, М – текущая точка гладкой линии

 


 


 

 
Очевидно, длина дуги - функция от х.

Найдем дифференциал этой функции – дифференциал длины дуги: /

Если х получает приращение , то длина  также получает приращение: .

При достаточно малом  длина дуги  и длина отрезка | эквиваленты, а значит, взаимозаменяемы при нахождении пределов. Поэтому  

Таким образом,  или .

Замечания:

1.Если линия задана параметрически уравнениями , то

2.Если линия задана в полярной системе уравнением , то учитывая, что , и принимая  за параметр, найдем

Тогда .

2.3.3. Геометрические приложения дифференциального исчисления функций одной переменной

l

 

  y = f(x)

 

y

 

y0

 
Касательная и нормаль к линии

 


Согласно геометрическому смыслу, производной y / = tg;

- угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

Уравнение касательной к графику линии y = f(x)

в точке М0(х0, у0) имеет вид 

  y - y0= f /(x0)(x-x0);

где f / (x0) = k касс. - угловой коэффициент касательной.

Прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания, называется нормалью к графику линии y = f(x) 

Так как касательная и нормаль перпендикулярны друг к другу, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. для нормали  

Итак, уравнение нормали:

Пример 36. Найти уравнение касательной к эллипсу  в точке M0(x0, y0).

Решение. 

Найдем угловой коэффициент касательной, для этого найдем производную от функции, заданной неявно 

 

В точке  имеем  

Уравнение касательной:

,

откуда  - уравнение касательной к эллипсу в точке .

Угол между линиями на плоскости

Углом между пересекающимися в точке М0 линиями называется угол  между касательными к линиям в точке их пересечения.

Пусть  

Тогда

 

Геометрические приложения дифференциального исчисления функций двух переменных

Касательная плоскость

Если поверхность задана уравнением z = f(x,y), то

 уравнение касательной плоскостиимеет вид

где  - нормальный вектор плоскости.

Если поверхность задана неявным уравнением F(x, y, z) = 0, то частные производные  и  находим по известным формулам и тогда уравнение касательной плоскости:

Нормаль к поверхности

Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке.

За направляющий вектор  нормали принимают нормальный вектор  касательной плоскости: .

Нетрудно записать канонические уравнения нормали:

Пример 37: Найти уравнение касательной и нормали к сфере.

Решение. Уравнение сферы задано неявным уравнением.

 Найдем частные производные , вычислим их значения в точке М0.

Итак, уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали к сфере в точке М0 с направляющим вектором

Математика Примеры решения задач