Линии уровня и градиент функции двух переменных
Линией уровня функции
называется множество точек из области
определения
на плоскости
, для которых значение функции постоянно и равно
,
то есть
.
Пример
33.
Построить график функции
. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.
Решение.
Графиком линейной функции двух
переменных
является плоскость в пространстве. Для функции
график представляет собой плоскость, проходящую через
точки
,
,
.
Линиями уровня функции являются параллельные
прямые, уравнение которых или
или
.
Найдем уравнение линии уровня, проходящей через
точку
, для этого подставим координаты точки
в уравнение
и найдем значение параметра
:
,
отсюда
=18, итак
уравнение
линии уровня, проходящей через точку
имеет вид


Приложения дифференциального исчисления
2.3.1. Применение дифференциалов в приближенных
вычислениях
Приращение и дифференциал функции u = f(M) в точке
М связаны приближенным равенством: 
Запишем это равенство в развернутом виде
Для
функции одной переменной
:

Для
функции двух переменных
:

Для
функции трёх переменных
:
Покажем на примерах, как данные формулы применяются
к вычислению значений функций.
Пример 34: Вычислим sin 310.
Решение.
Очевидно,
требуется вычислить значение функции одной переменной
u = sin x при х
= 310.
Пусть
рад. Применим формулу
Тогда 
Пример 35
Вычислить приближенно (0,98)2,01.
Решение:
Рассмотрим функцию двух переменных
.
Пусть М(1,2), М1(0,98; 2,01).

Тогда
x=1,y=2, 
