Введение в математический анализ

Линии уровня и градиент функции двух переменных

Линией уровня функции  называется множество точек из области определения  на плоскости , для которых значение функции постоянно и равно , то есть

.

Пример 33.

Построить график функции . Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку .

Решение.

Графиком линейной функции двух переменных  является плоскость в пространстве. Для функции  график представляет собой плоскость, проходящую через точки , , .

 

 

 

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых или  или .

Найдем уравнение линии уровня, проходящей через точку , для этого подставим координаты точки в уравнение  и найдем значение параметра :

, отсюда =18, итак

уравнение линии уровня, проходящей через точку  имеет вид

y

с=12

с=0

4

3

x

 

Приложения дифференциального исчисления

2.3.1. Применение дифференциалов в приближенных

вычислениях

Приращение и дифференциал функции u = f(M) в точке М связаны приближенным равенством:

 Запишем это равенство в развернутом виде

Для функции одной переменной :

Для функции двух переменных : 

Для функции трёх переменных:  

Покажем на примерах, как данные формулы применяются к вычислению значений функций.

Пример 34: Вычислим sin 310.

Решение.

Очевидно, требуется вычислить значение функции одной переменной

 u = sin x при х = 310.

Пусть  рад. Применим формулу  

Тогда

Пример 35

Вычислить приближенно (0,98)2,01.

Решение: Рассмотрим функцию двух переменных.

Пусть М(1,2), М1(0,98; 2,01).

Тогда  x=1,y=2,