Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Линии уровня и градиент функции двух переменных

    Линией уровня функции  называется множество точек из области определения  на плоскости , для которых значение функции постоянно и равно , то есть

    .

    Пример 33.

    Построить график функции . Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку .

    Решение.

    Графиком линейной функции двух переменных  является плоскость в пространстве. Для функции  график представляет собой плоскость, проходящую через точки , , .

     


     

     


    Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых или  или .

    Найдем уравнение линии уровня, проходящей через точку , для этого подставим координаты точки в уравнение  и найдем значение параметра :

    , отсюда =18, итак

    уравнение линии уровня, проходящей через точку  имеет вид

      y

     


     с=12

     

    с=0

     

     4

     

      3

     

     x

     
     

    Приложения дифференциального исчисления

    2.3.1. Применение дифференциалов в приближенных

    вычислениях

    Приращение и дифференциал функции u = f(M) в точке М связаны приближенным равенством:

     Запишем это равенство в развернутом виде

    Для функции одной переменной :

    Для функции двух переменных

    Для функции трёх переменных:  

    Покажем на примерах, как данные формулы применяются к вычислению значений функций.

    Пример 34: Вычислим sin 310.

    Решение.

    Очевидно, требуется вычислить значение функции одной переменной

     u = sin x при х = 310.

    Пусть  рад. Применим формулу  

    Тогда

    Пример 35

    Вычислить приближенно (0,98)2,01.

    Решение: Рассмотрим функцию двух переменных.

    Пусть М(1,2), М1(0,98; 2,01).

    Тогда  x=1,y=2,

    Математика Примеры решения задач