Введение в математический анализ

Дифференциалы высших порядков

Дифференциал du функции u = f(M) принято называть дифференциалом первого порядка. 

 Дифференциалом второго порядка функции u = f(M) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции:

Дифференциалом третьего порядка функции u=f(M) называется дифференциал от дифференциала второго порядка данной функции:

Аналогично можно определить дифференциал любого порядка

 Дифференциалом n-го порядка функции u = f(M) называется дифференциал от дифференциала (n-1) - го порядка этой функции

При нахождении дифференциала того или иного порядка учитывается, что дифференциалы аргументов функции являются постоянными.

Пусть функции u = f(M) = f(x) одной переменной х , тогда имеем

 

Пусть функции u = f(M) = f(x, y) двух переменных х и у х , тогда имеем

Таким образом, дифференциал второго порядка

Аналогично можно получить, что дифференциал третьего порядка имеет вид

Пример 30.

 Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

Решение.

 

Основные теоремы дифференциального исчисления

Значение аргумента х = х0 называется точкой максимума (минимума), если значение функции y=f(x0) является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими ее значениями в  - окрестности точки х = х0 , т.е. в интервале :

для  

Точки максимума и минимума (max, min) называются точками экстремума.

Значение функции в точке экстремума называют экстремумом функции, в частности, максимумом или минимумом функции.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) непрерывна в (а, b), имеет экстремум - max (min) в некоторой внутренней точке  и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю:

.

Действительно. Пусть х = х0 - точка min, y=f(x0) – min функции y=f(x).

Тогда независимо от знака  приращение . Поэтому  Оба неравенства имеют место одновременно только в том случае, если

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная в точке экстремума (x0 , f(x0)) к графику функции y=f(x) параллельна оси Ох .

Теорема Роля. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и имеет на концах отрезка равные значения  f(a) = f(b)=c , то на интервале (a, b) существует хотя бы одна точка х = х0 такая, что f /(x0) =0

Действительно. Так как функция непрерывна на [a, b], то, по теореме Вейерштрасса (2.1.13) она имеет на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения: m и М.

Если m= М, то f /(x0)- const и для любого  имеем f /(x0) =0.

Если , то хотя бы одно из этих значений соответствует внутренней точке , но тогда по теореме Ферма имеем f /(x0) =0.

Геометрический смысл теоремы Роля состоит в том, что существует хотя бы одна точка (x0 , f(x0)) такая, касательная в которой к графику функции y=f(x) будет параллельна оси Ох.

Пример 31.

Проверить условия теоремы Роля для функции у = х2-4х+4, заданной на отрезке [0, 3] и [0, 4].

Решение.

В первом случае значения на концах отрезка не являются равными:

f(0) =4,  f(3)=1, тем не менее, у /=2х-4=0 при

 Во втором случае значения на концах отрезка равны:

f(0) =4, f(4)=4, условия теоремы выполняются и у /=0 в той же точке

Теорема Коши. Если функция  и  непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем  , то существует хотя бы одна точка , такая, что

Для доказательства введем новую функцию , которая удовлетворяет условиям теоремы Роля на [a, b]. Поэтому в некоторой точке  , т.е. , откуда следует

b   x

 
Теорема Лагранжа. Если y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то существует хотя бы одна точка  такая, что  

B

 

A

 

l

 

у

 
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через точку (x0 , f(x0)) можно провести касательную l к графику функции, параллельную секущей АВ, так как

Х0

 

а чч

 

0

 
KAB=Kl=f /(x0).

Замечание.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если положить .

Правило Лопиталя. Предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций можно вычислить, используя элементарные приемы преобразования этих функций.

Универсальным правилом для раскрытия неопределенностей вида  и  является правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя.  Пусть функции y=f(x) и  в окрестности точки х= а непрерывны, дифференцируемы и . При этом при   или  одновременно  или  

Тогда, если существует , то также существует , причем .

Правило Лопиталя может применяться неоднократно.

Пример 32.

Вычислить .

Решение.

Так как имеем неопределенность вида , то применяя дважды правило Лопиталя, получим

 

Математика Примеры решения задач