Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Дифференциалы высших порядков

    Дифференциал du функции u = f(M) принято называть дифференциалом первого порядка. 

     Дифференциалом второго порядка функции u = f(M) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции:

    Дифференциалом третьего порядка функции u=f(M) называется дифференциал от дифференциала второго порядка данной функции:

    Аналогично можно определить дифференциал любого порядка

     Дифференциалом n-го порядка функции u = f(M) называется дифференциал от дифференциала (n-1) - го порядка этой функции

    При нахождении дифференциала того или иного порядка учитывается, что дифференциалы аргументов функции являются постоянными.

    Пусть функции u = f(M) = f(x) одной переменной х , тогда имеем

     

    Пусть функции u = f(M) = f(x, y) двух переменных х и у х , тогда имеем

    Таким образом, дифференциал второго порядка

    Аналогично можно получить, что дифференциал третьего порядка имеет вид

    Пример 30.

     Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

    Решение.

     

    Основные теоремы дифференциального исчисления

    Значение аргумента х = х0 называется точкой максимума (минимума), если значение функции y=f(x0) является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими ее значениями в  - окрестности точки х = х0 , т.е. в интервале :

    для  

    Точки максимума и минимума (max, min) называются точками экстремума.

    Значение функции в точке экстремума называют экстремумом функции, в частности, максимумом или минимумом функции.

    Теорема Ферма. Если функция y=f(x) непрерывна в (а, b), имеет экстремум - max (min) в некоторой внутренней точке  и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю:

    .

    Действительно. Пусть х = х0 - точка min, y=f(x0) – min функции y=f(x).

    Тогда независимо от знака  приращение . Поэтому  Оба неравенства имеют место одновременно только в том случае, если

    Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная в точке экстремума (x0 , f(x0)) к графику функции y=f(x) параллельна оси Ох .

    Теорема Роля. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и имеет на концах отрезка равные значения  f(a) = f(b)=c , то на интервале (a, b) существует хотя бы одна точка х = х0 такая, что f /(x0) =0

    Действительно. Так как функция непрерывна на [a, b], то, по теореме Вейерштрасса (2.1.13) она имеет на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения: m и М.

    Если m= М, то f /(x0)- const и для любого  имеем f /(x0) =0.

    Если , то хотя бы одно из этих значений соответствует внутренней точке , но тогда по теореме Ферма имеем f /(x0) =0.

    Геометрический смысл теоремы Роля состоит в том, что существует хотя бы одна точка (x0 , f(x0)) такая, касательная в которой к графику функции y=f(x) будет параллельна оси Ох.

    Пример 31.

    Проверить условия теоремы Роля для функции у = х2-4х+4, заданной на отрезке [0, 3] и [0, 4].

    Решение.

    В первом случае значения на концах отрезка не являются равными:

    f(0) =4,  f(3)=1, тем не менее, у /=2х-4=0 при

     Во втором случае значения на концах отрезка равны:

    f(0) =4, f(4)=4, условия теоремы выполняются и у /=0 в той же точке

    Теорема Коши. Если функция  и  непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем  , то существует хотя бы одна точка , такая, что

    Для доказательства введем новую функцию , которая удовлетворяет условиям теоремы Роля на [a, b]. Поэтому в некоторой точке  , т.е. , откуда следует

    b   x

     
    Теорема Лагранжа. Если y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то существует хотя бы одна точка  такая, что  

    B

     

    A

     

    l

     

    у

     
    Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через точку (x0 , f(x0)) можно провести касательную l к графику функции, параллельную секущей АВ, так как

    Х0

     

    а чч

     

    0

     
    KAB=Kl=f /(x0).

    Замечание.

    Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если положить .

    Правило Лопиталя. Предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций можно вычислить, используя элементарные приемы преобразования этих функций.

    Универсальным правилом для раскрытия неопределенностей вида  и  является правило Лопиталя.

    Теорема Лопиталя.  Пусть функции y=f(x) и  в окрестности точки х= а непрерывны, дифференцируемы и . При этом при   или  одновременно  или  

    Тогда, если существует , то также существует , причем .

    Правило Лопиталя может применяться неоднократно.

    Пример 32.

    Вычислить .

    Решение.

    Так как имеем неопределенность вида , то применяя дважды правило Лопиталя, получим

     

    Математика Примеры решения задач