Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Производные параметрической функции

    Пусть функция одной переменной задана параметрическими уравнениями:

      x = x(t),

     y = y(t)

      причем существуют

    Несмотря на то, что у непосредственно не зависит от х, можно найти производную функции у аргумента х, т.е. .

    Из существования производной  следует, что  откуда  причем  при  Таким образом, при  одновременно  и , а это означает, что

    y = f(x) – непрерывная функция, т.е. необходимое условие существования   выполняется.

     Используя определение производной, получаем: . Здесь , так как , итак

    Производная  выражена, в общем случае, через параметр t. Производную от производной этой функции можно найти по тому же закону, по которому найдена производная исходной параметрической функции. В результате получим производную второго порядка данной функции:

    Вообще, производная n – порядка данной функции определяется формулой

    Пример 26 .

    Найти вторую производную функции:

     

    Решение.

    Найдем производные  , , тогда

    по формулам

     вычислим

     Дифференцирование неявных функций

     Пусть функция у одного аргумента х задана неявно

    F(x,y)=0 .

    Найдем полный дифференциал левой и правой частей равенства:  или

    Сравним это равенство с выражением полного дифференциала функции

    y = f(x) , т.е. с выражением  Очевидно,

    Пусть функция z двух переменных задана неявно 

    F(x,y,z)=0 ,

    тогда, находя полный дифференциал левой и правой частей уравнения , получим

    Из сравнения этого равенства полного дифференциала функции z = f(x,y), , следует, что для неявной функции, заданной уравнением F(x,y,z)=0,

    частные производные определяются формулами:

      Пример 27 .

    Найти частные производные функции

     xz – 2zy – 2x + 3y – 7=0.

    Решение.

    Обозначим

    xz – 2zy - 2x + 3y – 7 = F(x,y,z),

      используя формулы

      

    находим

     

    Замечание.

     Можно предложить правило для нахождения производных любого порядка неявной функции одной переменной f(x,y) =0 .

    Чтобы найти производную n – порядка функции f(x,y)=0 , надо последовательно n раз продифференцировать обе части уравнения f(x,y)=0, учитывая, что   зависят от х, и из последнего равенства выразить .

    Пример 28 .

    Найти производную третьего порядка функции одной переменной, заданной неявно

    .

    Решение.

    Последовательно дифференцируем обе части уравнения три раза:   или

     

    или  

    Производная третьего порядка

    Дифференциал функции, его свойства.

    Пусть дана функция u = f(M) = f(x, y,…,z), D -область определения.

     Если координатам точки М задать приращения, то получим новую точку

    Полное приращение функции u в точке М (смотри 2.2.1.) :

     

    Если приращение  функции в точке М можно представить в виде  

    где А, В, С- коэффициенты, не содержащие - бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с расстоянием  , то

     главная часть приращения функции

     называется полным дифференциалом данной функции u = f(x, y, …,z) в точке M(x, y,…,z) и обозначается

    В частности, для функций

    u = f(x),

     u = f(x, y), 

     u = f(x, y, z) 

    имеем соответственно:

     

    Можно доказать, что коэффициенты А, В, …,С равны производным данной функции по x, y, …,z, покажем это для функции одной переменной.

     Пусть u = f(x) – функция одной переменной, дифференцируема в точке М(х), то есть существует

     , или , или ,

    найдем  ,

     тогда, согласно классификации бесконечно малых функций (2.1.7),

     - бесконечно малая более высокого порядка, чем  Значит,  - главная часть приращения  т.е.  Тогда

     


    В частности, если f(x) = x, то , т.е. дифференциал аргумента х равен приращению этого аргумента. Таким образом, 

    Дифференциал функции двух переменных равен

     


      

    Дифференциал функции трех переменных равен

    .

      Свойства дифференциалов

    Используя выражение для дифференциалов, нетрудно доказать следующие свойства дифференциалов:

    если С – постоянная величина, то dC= 0;

    , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала;

    Пример 29.

    Найти дифференциал функции

    f(x, y) = y sin x  

    Решение.

    Используя свойства и таблицу производных, найдем:  

    Математика Примеры решения задач