Введение в математический анализ

Производные параметрической функции

Пусть функция одной переменной задана параметрическими уравнениями:

  x = x(t),

 y = y(t)

  причем существуют

Несмотря на то, что у непосредственно не зависит от х, можно найти производную функции у аргумента х, т.е. .

Из существования производной  следует, что  откуда  причем  при  Таким образом, при  одновременно  и , а это означает, что

y = f(x) – непрерывная функция, т.е. необходимое условие существования   выполняется.

 Используя определение производной, получаем: . Здесь , так как , итак

Производная  выражена, в общем случае, через параметр t. Производную от производной этой функции можно найти по тому же закону, по которому найдена производная исходной параметрической функции. В результате получим производную второго порядка данной функции:

Вообще, производная n – порядка данной функции определяется формулой

Пример 26 .

Найти вторую производную функции:

 

Решение.

Найдем производные  , , тогда

по формулам

 вычислим

 Дифференцирование неявных функций

 Пусть функция у одного аргумента х задана неявно

F(x,y)=0 .

Найдем полный дифференциал левой и правой частей равенства:  или

Сравним это равенство с выражением полного дифференциала функции

y = f(x) , т.е. с выражением  Очевидно,

Пусть функция z двух переменных задана неявно 

F(x,y,z)=0 ,

тогда, находя полный дифференциал левой и правой частей уравнения , получим

Из сравнения этого равенства полного дифференциала функции z = f(x,y), , следует, что для неявной функции, заданной уравнением F(x,y,z)=0,

частные производные определяются формулами:

  Пример 27 .

Найти частные производные функции

 xz – 2zy – 2x + 3y – 7=0.

Решение.

Обозначим

xz – 2zy - 2x + 3y – 7 = F(x,y,z),

  используя формулы

  

находим

 

Замечание.

 Можно предложить правило для нахождения производных любого порядка неявной функции одной переменной f(x,y) =0 .

Чтобы найти производную n – порядка функции f(x,y)=0 , надо последовательно n раз продифференцировать обе части уравнения f(x,y)=0, учитывая, что   зависят от х, и из последнего равенства выразить .

Пример 28 .

Найти производную третьего порядка функции одной переменной, заданной неявно

.

Решение.

Последовательно дифференцируем обе части уравнения три раза:   или

 

или  

Производная третьего порядка

Дифференциал функции, его свойства.

Пусть дана функция u = f(M) = f(x, y,…,z), D -область определения.

 Если координатам точки М задать приращения, то получим новую точку

Полное приращение функции u в точке М (смотри 2.2.1.) :

 

Если приращение  функции в точке М можно представить в виде  

где А, В, С- коэффициенты, не содержащие - бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с расстоянием  , то

 главная часть приращения функции

 называется полным дифференциалом данной функции u = f(x, y, …,z) в точке M(x, y,…,z) и обозначается

В частности, для функций

u = f(x),

 u = f(x, y), 

 u = f(x, y, z) 

имеем соответственно:

 

Можно доказать, что коэффициенты А, В, …,С равны производным данной функции по x, y, …,z, покажем это для функции одной переменной.

 Пусть u = f(x) – функция одной переменной, дифференцируема в точке М(х), то есть существует

 , или , или ,

найдем  ,

 тогда, согласно классификации бесконечно малых функций (2.1.7),

 - бесконечно малая более высокого порядка, чем  Значит,  - главная часть приращения  т.е.  Тогда

 


В частности, если f(x) = x, то , т.е. дифференциал аргумента х равен приращению этого аргумента. Таким образом, 

Дифференциал функции двух переменных равен

 


  

Дифференциал функции трех переменных равен

.

  Свойства дифференциалов

Используя выражение для дифференциалов, нетрудно доказать следующие свойства дифференциалов:

если С – постоянная величина, то dC= 0;

, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала;

Пример 29.

Найти дифференциал функции

f(x, y) = y sin x  

Решение.

Используя свойства и таблицу производных, найдем:  

Математика Примеры решения задач