Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Векторная функция скалярного аргумента, её производная

    Производную векторной функции скалярного аргумента  будем находить, пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Будем предполагать, что x(t),

    y(t), z(t) – дифференцируемые в точке t функции.

    араметра t и . Если точка В по годографу приближается к точке А, то . От  зависит приращение

     

    Рассмотрим .

    Таким образом,

    производной векторной функции скалярного аргумента , если x (t), y (t), z (t) – дифференцируемые функции в точке t, является вектор, координаты которого есть производные от координат данной функции.

    Обозначают: .

    При  секущая АВ стремится к своему предельному положению, т.е. к положению касательной к годографу в точке А. Поэтому  - вектор, касательной к годографу функции , направленный в сторону большего аргумента. Этот вектор можно использовать как направляющий вектор касательной к годографу в точке А.

    Пример 23.

    если , то значению t = 1 соответствует на годографе точка А(2. 2, 1). Вектор  в точке А равен . Направляющий вектор, касательный к годографу, есть . Тогда канонические уравнения касательной, проходящей через точку А годографа, имеют вид , или .

     Некоторые правила дифференцирования векторной функции скалярного аргумента

    Нетрудно проверить, что имеют место следующие равенства:

    Например, если , то . Тогда

    . Производные высших порядков. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

    Если данная функция явная и зависит от одного аргумента

    y = f(x) ,

     то .

    Производная от производной (n – 1) – порядка называется производной n – порядка, обозначают  

    Все производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Обозначения производных неоднозначны.

     Производную второго порядка данной функции обозначают: .

     Читают: « - игрек два штриха, - дэ два игрек по дэ икс в квадрате».

    Аналогично обозначают производную третьего:

    Пример 24 .

     Найти , функции y =e ax и  для функции

    Решение:

     Если то  

    Тогда,

    Для функции ;

    имеем

    Рассмотрим производные высших порядков явной функции 

    нескольких аргументов. Частные производные такой функции являются также функциями тех же аргументов.

    Рассмотрим 

    z = f(x, y)

    Функцию двух аргументов х и у, то частные производные  и  также зависят в общем случае от этих аргументов, по этому можно говорить о частных производных каждой частной производной функции по х и у.

    Для частной производной  имеем частные производные второго порядка:

    Точно так же производную  можно дифференцировать по х и по у:

     

    Каждая из частных производных второго порядка является функцией аргументов исходной функции.

    Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка.

    Например,  и т.д.

    Частные производные высших порядков называются смешанными, если они получены последовательным дифференцированием данной функции по различным переменным. Таковыми являются

    Имеет место теорема о смешанных производных:

    если непрерывны смешанные частные производные одного порядка, отличающиеся только последовательностью дифференцирования функции по независимым переменным, то они равны:

    = ,

    и так далее.

    Пример 25 .

    Проверить выполнение теоремы о смешанных производных для функции

      

    Решение.

    Найдем частные производные первого порядка:

    =3   = 3,

     нетрудно убедиться, что

     =9 

     или 

     и так далее.

    Математика Примеры решения задач