Введение в математический анализ

Векторная функция скалярного аргумента, её производная

Производную векторной функции скалярного аргумента  будем находить, пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Будем предполагать, что x(t),

y(t), z(t) – дифференцируемые в точке t функции.

араметра t и . Если точка В по годографу приближается к точке А, то . От  зависит приращение

 

Рассмотрим .

Таким образом,

производной векторной функции скалярного аргумента , если x (t), y (t), z (t) – дифференцируемые функции в точке t, является вектор, координаты которого есть производные от координат данной функции.

Обозначают: .

При  секущая АВ стремится к своему предельному положению, т.е. к положению касательной к годографу в точке А. Поэтому  - вектор, касательной к годографу функции , направленный в сторону большего аргумента. Этот вектор можно использовать как направляющий вектор касательной к годографу в точке А.

Пример 23.

если , то значению t = 1 соответствует на годографе точка А(2. 2, 1). Вектор  в точке А равен . Направляющий вектор, касательный к годографу, есть . Тогда канонические уравнения касательной, проходящей через точку А годографа, имеют вид , или .

 Некоторые правила дифференцирования векторной функции скалярного аргумента

Нетрудно проверить, что имеют место следующие равенства:

Например, если , то . Тогда

. Производные высших порядков. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

Если данная функция явная и зависит от одного аргумента

y = f(x) ,

 то .

Производная от производной (n – 1) – порядка называется производной n – порядка, обозначают  

Все производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Обозначения производных неоднозначны.

 Производную второго порядка данной функции обозначают: .

 Читают: « - игрек два штриха, - дэ два игрек по дэ икс в квадрате».

Аналогично обозначают производную третьего:

Пример 24 .

 Найти , функции y =e ax и  для функции

Решение:

 Если то  

Тогда,

Для функции ;

имеем

Рассмотрим производные высших порядков явной функции 

нескольких аргументов. Частные производные такой функции являются также функциями тех же аргументов.

Рассмотрим 

z = f(x, y)

Функцию двух аргументов х и у, то частные производные  и  также зависят в общем случае от этих аргументов, по этому можно говорить о частных производных каждой частной производной функции по х и у.

Для частной производной  имеем частные производные второго порядка:

Точно так же производную  можно дифференцировать по х и по у:

 

Каждая из частных производных второго порядка является функцией аргументов исходной функции.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка.

Например,  и т.д.

Частные производные высших порядков называются смешанными, если они получены последовательным дифференцированием данной функции по различным переменным. Таковыми являются

Имеет место теорема о смешанных производных:

если непрерывны смешанные частные производные одного порядка, отличающиеся только последовательностью дифференцирования функции по независимым переменным, то они равны:

= ,

и так далее.

Пример 25 .

Проверить выполнение теоремы о смешанных производных для функции

  

Решение.

Найдем частные производные первого порядка:

=3   = 3,

 нетрудно убедиться, что

 =9 

 или 

 и так далее.

Математика Примеры решения задач