Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Механический смысл производной

    Пусть y = f (x) – зависимость пути у от времени х.

    Тогда  - путь, проходимый точкой за промежуток времени . Средняя скорость движения точки при этом .

    Очевидно, что в момент х ( при ) скорость, называемая в физике мгновенной, равна

    .

      Таким образом, производная у функции y = f (x) есть скорость изменения функции.

    Так как аргумент х функции меняется вдоль оси ОХ, то  называют производной функции по направлению ОХ, которая характеризует скорость изменения функции в направлении ОХ.

    При нахождении частной производной все аргументы функции, кроме одного, считают постоянными. При этом функция нескольких переменных становится функцией одной переменной. Поэтому любая частная производная характеризует, как и в предыдущем случае, скорость изменения функции в направлении изменения переменного аргумента, сама производная при этом иначе называется производной данной функции по направлению оси соответствующего аргумента.

    Так - производная функции u = f (M) по направлению оси OZ , характеризует скорость изменения функции в направлении OZ .

    Аналогичный смысл имеют частные производные, например, .

     Геометрический смысл производной

    Ограничимся рассмотрением геометрического смысла производной функции одной переменной.

    Пусть к точке М(х, у) по дуге кривой y = f (x) приближается точка . Предельное положение секущей М М называется касательной к кривой y = f(x) в точке М. В момент слияния точек М и М секущая становится касательной к кривой.

     Из  следует: .

    Перейдем к пределу при , тогда при приближении точки

     
     к точке М, угол  стремится к углу  наклона касательной в точке М к оси ОХ, следовательно

       , или

     

    Таким образом,

    ,

      производная функции y = f(x) в точке М равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ в точке М кривой

     y = f(x).

      Уравнение касательной имеет вид 

    y – y0 = y`( x0 )( x – x0 ),

    где y` (x0) - угловой коэффициент касательной.

    Пример 22. Найти уравнение касательной к кривой  в точке х0 = 3. Сделать чертеж.

    Решение:

    Уравнение касательной к кривой имеет вид:

    y – y0 = y`( x0 )( x – x0 ),

    где ( х0,y0) – точка касания ( значение производной y` (x0) определяет угол наклона касательной ).

    Вычислим y0: . Найдем производную и ее значение при х0= 3: 

    Уравнение касательной : y – 1 = 2( x – 3) или y = 2x – 5.

    Полученный результат проверим графически

    y

     y = 2x – 5

    1

    0

    -1 1 2 3 x

    y = x2/3 – 2

     
    -2

    Ответ: y = 2x – 5.

    Математика Примеры решения задач