Введение в математический анализ

Механический смысл производной

Пусть y = f (x) – зависимость пути у от времени х.

Тогда  - путь, проходимый точкой за промежуток времени . Средняя скорость движения точки при этом .

Очевидно, что в момент х ( при ) скорость, называемая в физике мгновенной, равна

.

  Таким образом, производная у функции y = f (x) есть скорость изменения функции.

Так как аргумент х функции меняется вдоль оси ОХ, то  называют производной функции по направлению ОХ, которая характеризует скорость изменения функции в направлении ОХ.

При нахождении частной производной все аргументы функции, кроме одного, считают постоянными. При этом функция нескольких переменных становится функцией одной переменной. Поэтому любая частная производная характеризует, как и в предыдущем случае, скорость изменения функции в направлении изменения переменного аргумента, сама производная при этом иначе называется производной данной функции по направлению оси соответствующего аргумента.

Так - производная функции u = f (M) по направлению оси OZ , характеризует скорость изменения функции в направлении OZ .

Аналогичный смысл имеют частные производные, например, .

 Геометрический смысл производной

Ограничимся рассмотрением геометрического смысла производной функции одной переменной.

Пусть к точке М(х, у) по дуге кривой y = f (x) приближается точка . Предельное положение секущей М М называется касательной к кривой y = f(x) в точке М. В момент слияния точек М и М секущая становится касательной к кривой.

 Из  следует: .

Перейдем к пределу при , тогда при приближении точки

 
 к точке М, угол  стремится к углу  наклона касательной в точке М к оси ОХ, следовательно

   , или

 

Таким образом,

,

  производная функции y = f(x) в точке М равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ в точке М кривой

 y = f(x).

  Уравнение касательной имеет вид 

y – y0 = y`( x0 )( x – x0 ),

где y` (x0) - угловой коэффициент касательной.

Пример 22. Найти уравнение касательной к кривой  в точке х0 = 3. Сделать чертеж.

Решение:

Уравнение касательной к кривой имеет вид:

y – y0 = y`( x0 )( x – x0 ),

где ( х0,y0) – точка касания ( значение производной y` (x0) определяет угол наклона касательной ).

Вычислим y0: . Найдем производную и ее значение при х0= 3: 

Уравнение касательной : y – 1 = 2( x – 3) или y = 2x – 5.

Полученный результат проверим графически

y

 y = 2x – 5

1

0

-1 1 2 3 x

y = x2/3 – 2

 
-2

Ответ: y = 2x – 5.

Математика Примеры решения задач