Введение в математический анализ

Основные правила и формулы дифференцирования.

Таблица производных.

 Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции. Пользуясь определением производной и теоремами о пределах, можно вывести правила и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

Пример 15.

Доказать, что для основной элементарной функции  

Доказательство.

Найдем приращение функции  ( смотри пример 14,а). ,

тогда по определению производной

Использовали первый замечательный предел  

Итак, .

Таблица производных.

Пусть с – постоянная,

  u = u(x) и v = v(x) функции.

(с)’ = 0

 (u + v)’ = u’ + v’

  (u · v)’ = u’v + u v’, в частности (cu)’ = с · u’

  , в частности  

 y = f(u) – сложная функция, где u = u(x), тогда

.

  , , в частности .

  , в частности 

  , в частности .

 

 

 

 

Показательно-степенная функция

, u = u(x), v = v(x)

Пример 19.

Найти производную функций одной переменной

Решение:

выполним преобразования, используя свойства степеней (смотри Приложение 3) :

, далее, применяя табличные формулы: ,

получим

  или  или

используем формулы:

   

Тогда

или

используем формулы

    ,

получим

  или

используем формулы:

    .

Таким образом,

 или

,

откроем скобки, получим

.

Для нахождения частных производных функций нескольких переменных   применяют следующее правило, которое следует из определения п.3.1 :

при вычислении  -частной производной по , считают остальные переменные  константами;

при вычислении  - частной производной по , считают другие переменные  константами.

Пример 20.

Найти частные производные функций нескольких переменных

Решение.

  - функция трех переменных, найдем частные производные:  ( - постоянные),

  ( - постоянные),

  ( - постоянные).

  - функция двух переменных,

частная производная по x равна

  (),

частная производная по y равна

  (). 

Контрольный тест 8.

Непрерывность и дифференцируемость 

 Функция u = f (M) = f (x,y,….z), имеющая производную по каждому аргументу в точке М, называется дифференцируемой в этой точке.

Так функция u = f (x)  дифференцируема в точке М (1,3,-1), так как в ней существуют производные .

Функция u = f(M) называется дифференцируемой в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

В частности, функция u = f(x) дифференцируема в интервале (а , b), если она дифференцируема в каждой точке (a, b).

Непрерывность и дифференцируемость функции в точке взаимосвязаны.

Имеет место необходимое условие дифференцируемости функции в точке:

если функция u = f(M)= f(x,y,…z) дифференцируема в точке М, то она и непрерывна в этой точке. 

Замечание, если функция одной переменной y = f (x) дифференцируема в точке , то она непрерывна в ней.

В этом случае, выполняется равенство

Непрерывность функции является лишь необходимым условием дифференцируемости функции в точке, можно привести примеры функции, которые непрерывны в точке, но не дифференцируемы в этой точке.

Пример 21.

 у Показать, что непрерывная функция  в

 точке х=0 не имеет производной.

 


 

 
 

х

 

0

 
 

 Решение: функция у = |х| непрерывна в точке х = 0, но производная в этой точке не существует, так как по определению , но односторонние пределы не равны друг другу

  и

 Значит, несмотря на непрерывность функции в точке, производной в этой точке не существует.

Математика Примеры решения задач