Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Основные правила и формулы дифференцирования.

    Таблица производных.

     Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции. Пользуясь определением производной и теоремами о пределах, можно вывести правила и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

    Пример 15.

    Доказать, что для основной элементарной функции  

    Доказательство.

    Найдем приращение функции  ( смотри пример 14,а). ,

    тогда по определению производной

    Использовали первый замечательный предел  

    Итак, .

    Таблица производных.

    Пусть с – постоянная,

      u = u(x) и v = v(x) функции.

    (с)’ = 0

     (u + v)’ = u’ + v’

      (u · v)’ = u’v + u v’, в частности (cu)’ = с · u’

      , в частности  

     y = f(u) – сложная функция, где u = u(x), тогда

    .

      , , в частности .

      , в частности 

      , в частности .

     

     

     

     

    Показательно-степенная функция

    , u = u(x), v = v(x)

    Пример 19.

    Найти производную функций одной переменной

    Решение:

    выполним преобразования, используя свойства степеней (смотри Приложение 3) :

    , далее, применяя табличные формулы: ,

    получим

      или  или

    используем формулы:

       

    Тогда

    или

    используем формулы

        ,

    получим

      или

    используем формулы:

        .

    Таким образом,

     или

    ,

    откроем скобки, получим

    .

    Для нахождения частных производных функций нескольких переменных   применяют следующее правило, которое следует из определения п.3.1 :

    при вычислении  -частной производной по , считают остальные переменные  константами;

    при вычислении  - частной производной по , считают другие переменные  константами.

    Пример 20.

    Найти частные производные функций нескольких переменных

    Решение.

      - функция трех переменных, найдем частные производные:  ( - постоянные),

      ( - постоянные),

      ( - постоянные).

      - функция двух переменных,

    частная производная по x равна

      (),

    частная производная по y равна

      (). 

    Контрольный тест 8.

    Непрерывность и дифференцируемость 

     Функция u = f (M) = f (x,y,….z), имеющая производную по каждому аргументу в точке М, называется дифференцируемой в этой точке.

    Так функция u = f (x)  дифференцируема в точке М (1,3,-1), так как в ней существуют производные .

    Функция u = f(M) называется дифференцируемой в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

    В частности, функция u = f(x) дифференцируема в интервале (а , b), если она дифференцируема в каждой точке (a, b).

    Непрерывность и дифференцируемость функции в точке взаимосвязаны.

    Имеет место необходимое условие дифференцируемости функции в точке:

    если функция u = f(M)= f(x,y,…z) дифференцируема в точке М, то она и непрерывна в этой точке. 

    Замечание, если функция одной переменной y = f (x) дифференцируема в точке , то она непрерывна в ней.

    В этом случае, выполняется равенство

    Непрерывность функции является лишь необходимым условием дифференцируемости функции в точке, можно привести примеры функции, которые непрерывны в точке, но не дифференцируемы в этой точке.

    Пример 21.

     у Показать, что непрерывная функция  в

     точке х=0 не имеет производной.

     


     

     
     

    х

     

    0

     
     

     Решение: функция у = |х| непрерывна в точке х = 0, но производная в этой точке не существует, так как по определению , но односторонние пределы не равны друг другу

      и

     Значит, несмотря на непрерывность функции в точке, производной в этой точке не существует.

    Математика Примеры решения задач