Введение в математический анализ

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции)

Если функция  непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке: k≤ f(x)≤K

 


 
 K

 k

 


Теорема 2 (теорема Вейерштрасса).

Если функция  непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения  и наибольшего значения  

Теорема 3 (теорема Больцано-Коши) .

Если функция непрерывна на отрезке  и значения ее на концах отрезка  и  имеют противоположные знаки, то есть f(a) f(b) < 0,

 то внутри отрезка найдется точка  такая, что  .

С помощью определения непрерывности функции в точке можно доказать непрерывность всех основных элементарных функций:

степенной,

показательной,

логарифмической,

тригонометрических,

обратных тригонометрических ,

Теорема 4 (о непрерывности основных элементарных функций).

Основные элементарные функции непрерывна в области определения.

Аналогичная теорема имеет место для элементарных функций, то есть функций, полученных из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции (функция от функции).

Теорема 5 (о непрерывности элементарных функций).

 Элементарные функции непрерывна в области определения

Пример 17. Исследовать на непрывность функцию  

Решение. Найдем область определения функции:

x≠0, x+1>0.

Следовательно, функция непрерывна в области

 D=( -1,0)(0,+

Теорема 6 (о промежуточных значениях непрерывной функции).

 Пусть функция непрерывна на некотором отрезке (в том числе бесконечном). Если в двух каких- либо точках этого отрезка а и в функция принимает различные значения: f(a)=A; f(b)=B, то каково бы ни было С , лежащее между А и В, найдется x, лежащее между а и b , что f(x)= C.

 Непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает хотя бы раз и всякое промежуточное значение.

Контрольный тест 7.

7.1. Найти область определения функций:

7.2. Определить какие функции будут четными, а какие нечетными?

7.3. Найти точки пересечения линий: y = x2 и x + y = 2

7.4. Вычислить : f'(9), если 

7.5. Найти уравнение касательной к кривой

7.6. Построить область, ограниченную кривыми, найти точки пересечения линий:

y = 3x2 и y = 5 – 2x2

Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных 

Понятие производной функции в точке.

Из школьного курса математического анализа известно, что для функции одной переменной , которая определена и непрерывна в области D,

  приращении функции есть разность

,

где - приращение аргумента.

Рассмотрим функцию нескольких переменных

u = f(M) или

u=f(х, у,…z),

которая определена и непрерывна в области D.

Для таких функций введем понятия полного и частного приращений функций. Пусть первая координата х точки М получает приращение  и становится равной . Другие координаты точки М ( аргументы данной функции), остаются без изменения. Точка М(х, у,…z) преобразована в точку

М(х +), функция при этом изменила свое значение на величину

f (М) – f (М) =  или

 ,

 называется частным приращением функции f по х.

Аналогично можно определить частные приращения по другим переменным:

 - частное приращение функции f по y,

 - частное приращение функции f по z.

Полным приращением функции u=f(х, у,…z) называется

.

Пример 18.

а) Найти приращение для функции y=sin x.

b) Найти частные приращения функции 

Решение:

а) .

b) Найдем частное приращение по х: ;

частное приращение по y:

 

 Если существует конечный или бесконечный предел отношения частного приращения функции  по одной из независимых переменных к приращению этой независимой переменной при условии, что последнее приращение стремится к нулю произвольным образом, то он называется частной производной данной функции по соответствующей независимой переменной в точке , обозначают:

Если функция  зависит от одного аргумента: , то, как известно, ограничиваются термином «производная функции» ,обозначают

.

Также встречается следующие обозначения производных:

для функции одной переменной y = f(x) производную обозначают

в случае функции двух переменных z = f(x, y) обозначают

частную производную функции f (x,y) по х:

частную производную функции f (x,y) по y:

.

Математика Примеры решения задач