Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Свойства функций, непрерывных на отрезке

    Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции)

    Если функция  непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке: k≤ f(x)≤K

     


     
     K

     k

     


    Теорема 2 (теорема Вейерштрасса).

    Если функция  непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения  и наибольшего значения  

    Теорема 3 (теорема Больцано-Коши) .

    Если функция непрерывна на отрезке  и значения ее на концах отрезка  и  имеют противоположные знаки, то есть f(a) f(b) < 0,

     то внутри отрезка найдется точка  такая, что  .

    С помощью определения непрерывности функции в точке можно доказать непрерывность всех основных элементарных функций:

    степенной,

    показательной,

    логарифмической,

    тригонометрических,

    обратных тригонометрических ,

    Теорема 4 (о непрерывности основных элементарных функций).

    Основные элементарные функции непрерывна в области определения.

    Аналогичная теорема имеет место для элементарных функций, то есть функций, полученных из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции (функция от функции).

    Теорема 5 (о непрерывности элементарных функций).

     Элементарные функции непрерывна в области определения

    Пример 17. Исследовать на непрывность функцию  

    Решение. Найдем область определения функции:

    x≠0, x+1>0.

    Следовательно, функция непрерывна в области

     D=( -1,0)(0,+

    Теорема 6 (о промежуточных значениях непрерывной функции).

     Пусть функция непрерывна на некотором отрезке (в том числе бесконечном). Если в двух каких- либо точках этого отрезка а и в функция принимает различные значения: f(a)=A; f(b)=B, то каково бы ни было С , лежащее между А и В, найдется x, лежащее между а и b , что f(x)= C.

     Непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает хотя бы раз и всякое промежуточное значение.

    Контрольный тест 7.

    7.1. Найти область определения функций:

    7.2. Определить какие функции будут четными, а какие нечетными?

    7.3. Найти точки пересечения линий: y = x2 и x + y = 2

    7.4. Вычислить : f'(9), если 

    7.5. Найти уравнение касательной к кривой

    7.6. Построить область, ограниченную кривыми, найти точки пересечения линий:

    y = 3x2 и y = 5 – 2x2

    Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных 

    Понятие производной функции в точке.

    Из школьного курса математического анализа известно, что для функции одной переменной , которая определена и непрерывна в области D,

      приращении функции есть разность

    ,

    где - приращение аргумента.

    Рассмотрим функцию нескольких переменных

    u = f(M) или

    u=f(х, у,…z),

    которая определена и непрерывна в области D.

    Для таких функций введем понятия полного и частного приращений функций. Пусть первая координата х точки М получает приращение  и становится равной . Другие координаты точки М ( аргументы данной функции), остаются без изменения. Точка М(х, у,…z) преобразована в точку

    М(х +), функция при этом изменила свое значение на величину

    f (М) – f (М) =  или

     ,

     называется частным приращением функции f по х.

    Аналогично можно определить частные приращения по другим переменным:

     - частное приращение функции f по y,

     - частное приращение функции f по z.

    Полным приращением функции u=f(х, у,…z) называется

    .

    Пример 18.

    а) Найти приращение для функции y=sin x.

    b) Найти частные приращения функции 

    Решение:

    а) .

    b) Найдем частное приращение по х: ;

    частное приращение по y:

     

     Если существует конечный или бесконечный предел отношения частного приращения функции  по одной из независимых переменных к приращению этой независимой переменной при условии, что последнее приращение стремится к нулю произвольным образом, то он называется частной производной данной функции по соответствующей независимой переменной в точке , обозначают:

    Если функция  зависит от одного аргумента: , то, как известно, ограничиваются термином «производная функции» ,обозначают

    .

    Также встречается следующие обозначения производных:

    для функции одной переменной y = f(x) производную обозначают

    в случае функции двух переменных z = f(x, y) обозначают

    частную производную функции f (x,y) по х:

    частную производную функции f (x,y) по y:

    .

    Математика Примеры решения задач