Введение в математический анализ

Техника вычисления пределов

При вычислении  часто встречаются следующие неопределенности

,  10 и другие.

Приведем некоторые правила вычисления пределов в этих случаях

1). Если f(x), g(x) – многочлены и ,

то необходимо разделить числитель и знаменатель данной дроби

на х в старшей степени

Пример 11. Вычислить

.

Решение:  разделим числитель и знаменатель данной дроби на х

2).  Если f(x), g(x) – многочлены и ,

то необходимо числитель и знаменатель данной дроби разложить на множители и сократить на (х – хо)

Пример 12.  Вычислить

Решение:  числитель и знаменатель данной дроби разложим на множители и сократим на (х – 2)

3). Если f(x), g(x) содержит иррациональные выражения  и  ,

то необходимо умножить числитель и знаменатель данной дроби на сопряженный множитель и воспользоваться известной формулой:

 = х – a

Пример 13. Вычислить

.

Решение:  числитель и знаменатель данной дроби умножим на сопряженный множитель  , получим

4). Если f(x), g(x) – тригонометрические функции и ,

то можно использовать  эквивалентные бесконечно малые функции

( см. Замечание 2. в п.2.1.10.)

Пример 14. Вычислить

Решение: 

  Непрерывность функции в точке, на отрезке, в области.

 Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М0, если она определена в этой точке и ее окрестности и

.

Функция u = f(M) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

 Функция одной переменной y = f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) или на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала или этого отрезка.

Для функция одной переменной y = f(x) определение непрерывности в точке, используя теорему о существовании предела, можно сформулировать таким образом:

функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если:

функция определена в этой точке х = х0 и ее окрестности;

существуют односторонние пределы:

;

односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0: 

;

Данное определение часто используют на практике при исследовании функции на непрерывность.

Приведем краткую запись определения непрерывности функции в точке х0

f – непрерывна в т. х0 ,если  

Имеют место следующая

Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями в точке) :

 Если функции f1(M), f2(M) непрерывна в точке М0, то будут непрерывными в этой точке также функции:

Из определения непрерывности функции в точке , следует, что символы предела и функции можно переставить, если функция непрерывна в точке , то есть

.

Точки разрыва функции одной переменной, их классификация

В предыдущем разделе введено понятие функции непрерывной в точке: 

 Функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если:

она определена в этой точке х = х0 и ее окрестности;

существуют односторонние пределы:

;

односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0: 

;

Таким образом, для непрерывной функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы

 

 Функция имеет точку разрыва, если хотя бы одно из условий 1)-3)

 не выполнено в точке х

 Пример 15.

Исследовать на непрерывность функции:

Решение.

Найдем область определения ; , итак .

 В точках  и  функция не определена, нарушено условие 1) определения 1, следовательно точки  являются точками разрыва.

Введем следующую классификацию точек разрыва:

Точка  называется точкой разрыва 1го рода, если существует 

  -односторонние пределы, они конечны, но не равны друг другу

  (разрыв конечного скачка);

-односторонние пределы равны, но не равны значения функции в точке   (устранимый разрыв).

Точка  называется разрывом 2го рода, если хотя бы один из

  односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

  и (или)

Изобразим графически точки разрывы 1го и 2го родов:

 


  - точки разрыва 1го рода:

  - устранимый разрыв, так как

  - разрыв конечного скачка, так как

  - точки разрыва 2го рода,

 причем  и ;

  и

Упражнение.

 

 
Найти односторонние пределы функции , заданной графически, в соответствующих точках разрыва.

  Найти:  и

 

 

 1

 

 -1

 

 4

 

 2

 

 1

 

 0

 

Пример 16. Найти точки разрыва функций, определить характер разрыва, сделать чертеж, если

 

 

 

Решение:

функция  не определена при ; , следовательно

  - точка разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в точке . Известно, что  (первый замечательный предел), следовательно, односторонние пределы равны

.

Таки образом точка  является устранимым разрывом функции .

Функция  не определена при ,,

найдем односторонние пределы в точке разрыва:

 

 
Итак, точка  является точкой разрыва 1го рода – конечного скачка

 


Функция  не определена в точке ,

следовательно  - точка разрыва функции, найдем односторонние пределы в точке разрыва:

 .

. Согласно определению 2 точка  является разрывом 2го рода (бесконечного скачка)

 


 

Математика Примеры решения задач