Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Техника вычисления пределов

    При вычислении  часто встречаются следующие неопределенности

    ,  10 и другие.

    Приведем некоторые правила вычисления пределов в этих случаях

    1). Если f(x), g(x) – многочлены и ,

    то необходимо разделить числитель и знаменатель данной дроби

    на х в старшей степени

    Пример 11. Вычислить

    .

    Решение:  разделим числитель и знаменатель данной дроби на х

    2).  Если f(x), g(x) – многочлены и ,

    то необходимо числитель и знаменатель данной дроби разложить на множители и сократить на (х – хо)

    Пример 12.  Вычислить

    Решение:  числитель и знаменатель данной дроби разложим на множители и сократим на (х – 2)

    3). Если f(x), g(x) содержит иррациональные выражения  и  ,

    то необходимо умножить числитель и знаменатель данной дроби на сопряженный множитель и воспользоваться известной формулой:

     = х – a

    Пример 13. Вычислить

    .

    Решение:  числитель и знаменатель данной дроби умножим на сопряженный множитель  , получим

    4). Если f(x), g(x) – тригонометрические функции и ,

    то можно использовать  эквивалентные бесконечно малые функции

    ( см. Замечание 2. в п.2.1.10.)

    Пример 14. Вычислить

    Решение: 

      Непрерывность функции в точке, на отрезке, в области.

     Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М0, если она определена в этой точке и ее окрестности и

    .

    Функция u = f(M) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

     Функция одной переменной y = f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) или на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала или этого отрезка.

    Для функция одной переменной y = f(x) определение непрерывности в точке, используя теорему о существовании предела, можно сформулировать таким образом:

    функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если:

    функция определена в этой точке х = х0 и ее окрестности;

    существуют односторонние пределы:

    ;

    односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0: 

    ;

    Данное определение часто используют на практике при исследовании функции на непрерывность.

    Приведем краткую запись определения непрерывности функции в точке х0

    f – непрерывна в т. х0 ,если  

    Имеют место следующая

    Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями в точке) :

     Если функции f1(M), f2(M) непрерывна в точке М0, то будут непрерывными в этой точке также функции:

    Из определения непрерывности функции в точке , следует, что символы предела и функции можно переставить, если функция непрерывна в точке , то есть

    .

    Точки разрыва функции одной переменной, их классификация

    В предыдущем разделе введено понятие функции непрерывной в точке: 

     Функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если:

    она определена в этой точке х = х0 и ее окрестности;

    существуют односторонние пределы:

    ;

    односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0: 

    ;

    Таким образом, для непрерывной функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы

     

     Функция имеет точку разрыва, если хотя бы одно из условий 1)-3)

     не выполнено в точке х

     Пример 15.

    Исследовать на непрерывность функции:

    Решение.

    Найдем область определения ; , итак .

     В точках  и  функция не определена, нарушено условие 1) определения 1, следовательно точки  являются точками разрыва.

    Введем следующую классификацию точек разрыва:

    Точка  называется точкой разрыва 1го рода, если существует 

      -односторонние пределы, они конечны, но не равны друг другу

      (разрыв конечного скачка);

    -односторонние пределы равны, но не равны значения функции в точке   (устранимый разрыв).

    Точка  называется разрывом 2го рода, если хотя бы один из

      односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

      и (или)

    Изобразим графически точки разрывы 1го и 2го родов:

     


      - точки разрыва 1го рода:

      - устранимый разрыв, так как

      - разрыв конечного скачка, так как

      - точки разрыва 2го рода,

     причем  и ;

      и

    Упражнение.

     

     
    Найти односторонние пределы функции , заданной графически, в соответствующих точках разрыва.

      Найти:  и

     

     

     1

     

     -1

     

     4

     

     2

     

     1

     

     0

     

    Пример 16. Найти точки разрыва функций, определить характер разрыва, сделать чертеж, если

     

     

     

    Решение:

    функция  не определена при ; , следовательно

      - точка разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в точке . Известно, что  (первый замечательный предел), следовательно, односторонние пределы равны

    .

    Таки образом точка  является устранимым разрывом функции .

    Функция  не определена при ,,

    найдем односторонние пределы в точке разрыва:

     

     
    Итак, точка  является точкой разрыва 1го рода – конечного скачка

     


    Функция  не определена в точке ,

    следовательно  - точка разрыва функции, найдем односторонние пределы в точке разрыва:

     .

    . Согласно определению 2 точка  является разрывом 2го рода (бесконечного скачка)

     


     

    Математика Примеры решения задач